Kezdőlap


Feladat:	1168. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nárai György , Pete László
Füzet:	1962/november, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 1168. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy $k - 2 ≧ 0$ , tehát $k ≧ 2$ . A gyök alatti szám $22499 ... 91$ jegyeivel leírt számhoz 9-et adva $22500 ... 00$ -t kapunk, ahol a 0-ok száma $(k - 2) - 1 = k - 1$ . (Ez $k = 2$ -re is érvényes, vagyis ha a 4-es és az 1-es között egy 9-es sem áll.) Másrészt az 1-es jegy helyének sorszáma (jobbról számítva) $k + 2$ , tehát értéke $10^{k + 1}$ , hasonlóan a 4-es helyének értéke $10^{2 k}$ . Ezért a gyök alatti szám így is írható:

\begin{matrix} 225 \cdot 10^{2 k} - 9 \cdot 10^{k + 1} + 9 = 15^{2} \cdot 10^{2 k} - 90 \cdot 10^{k} + 3^{2} = {(15 \cdot 10^{k} - 3)}^{2} . \end{matrix}

Eszerint a négyzetgyök értéke

15 \cdot 10^{k} - 3

, egész, ezért az adott szám is egész és törzsszámhatványok szorzatára bontva:

\begin{matrix} 15 \cdot 10^{k} = 3 \cdot 5 \cdot 2^{k} \cdot 5^{k} = 2^{k} \cdot 3 \cdot 5^{k + 1} . \end{matrix}

Innen az állítás helyessége nyilvánvaló.

Pete László (Szolnok, Verseghy F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Kiszámítva a négyzetgyököt

k = 2

, 3, 4-re az 1497,

14 997

149 997

számokat kapjuk és ebből arra a sejtésre jutunk, hogy általában a

15 \cdot 10^{k} - 3

szám négyzete áll a gyökjel alatt. Erről most már egy négyzetreemeléssel meggyőződhetünk. (Így a fenti megoldás számításainak fordított sorrendű elvégzésével oldjuk meg a feladatot.)

Náray György (Budapest, Bem J. g. III. o. t.)