|
Feladat: |
1167. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Demendy Z. , Fajszi Cs. , Fazekas Patrik , Fejéregyházi Sándor , Gálfi László , Gerencsér László , Huber T. , Lánc J. , Lehel J. , Makai Endre , Máté Eörs , Négyessy M. , Nováky Béla , Papp L. , Pázmándi László , Reuss P. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Somogyi K. , Sonnevend György , Surányi András , Szabó L. , Szentai Judit , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Treer Mária , Varga L. , Vincze I. , Zalán Péter |
Füzet: |
1963/január,
22 - 23. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Középponti és kerületi szögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/március: 1167. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az illető állítása nem indokolt, még akkor sem, ha a szerkesztéssel talált tényt az illető esetre bizonyításnak tekintenők. Hiszen semmi biztosítéka nincs arra, hogy más helyzeténél is fennáll a tapasztalt összefüggés. Másrészt az illető állítása igaz, bebizonyítható, hogy . Nyilvánvaló, hogy a középpontú, -en átmenő kör átmegy -en is, ugyanis a háromszöget egy az háromszög középpontja körüli -os elforgatás önmagába viszi át, tehát a háromszög egyenlő oldalú, . Az, hogy átmegy -n is, következik most már abból, ha megmutatjuk, hogy a és háromszögek egybevágók. A két háromszög oldala közös, másrészt , mivel mindkettő a középpontú kör sugara. Megmutatjuk, hogy a két oldal közti és szögek egyenlők. Az utóbbi a szöggel kisebb, mint a szög, ami -os. Az előbbi a -os szögből a szög hozzátevésével és az szög elvételével keletkezik. A az körüli kör (rövidebb) ívén nyugvó kerületi szög; az a körüli ugyanakkora sugarú kör (rövidebb) ívén nyugvó középponti szög. Mivel a két körív feltétel szerint egyenlő, így , , . A két háromszög tehát egybevágó, , , s így átmegy -n is.
Makai Endre (Budapest, Eötvös J. g. I. o. t.) Megjegyzések. A egyenlőséget több más úton is megkaphatjuk, így 1. Ha a háromszöget úgy forgatjuk el körül -kal, hogy a -be jusson, akkor, új helyzetét -vel jelölve a szabályos, ezért . Ugyancsak derékszög a szög is, mert
Így a és háromszögek egybevágók, tehát .
Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. g. IV. o. t.) 2. Az szakaszt -ből
szögben látjuk, fele akkora szögben mint -ból. Mivel még és az ugyanazon partján vannak, azért az szakasz nyílású egyik látószög-körívének középpontja , és rajta van a körül sugárral írt körön.
Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)
|
|