Kezdőlap


Feladat:	1167. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Demendy Z. , Fajszi Cs. , Fazekas Patrik , Fejéregyházi Sándor , Gálfi László , Gerencsér László , Huber T. , Lánc J. , Lehel J. , Makai Endre , Máté Eörs , Négyessy M. , Nováky Béla , Papp L. , Pázmándi László , Reuss P. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Somogyi K. , Sonnevend György , Surányi András , Szabó L. , Szentai Judit , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Treer Mária , Varga L. , Vincze I. , Zalán Péter
Füzet:	1963/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 1167. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az illető állítása nem indokolt, még akkor sem, ha a szerkesztéssel talált tényt az illető esetre bizonyításnak tekintenők. Hiszen semmi biztosítéka nincs arra, hogy $K$ más helyzeténél is fennáll a tapasztalt összefüggés. Másrészt az illető állítása igaz, bebizonyítható, hogy $K M = K A' = K L$ .
Nyilvánvaló, hogy a $K$ középpontú, $L$ -en átmenő $k$ kör átmegy $M$ -en is, ugyanis a $K L M$ háromszöget egy az $A B C$ háromszög középpontja körüli $120^{\circ}$ -os elforgatás önmagába viszi át, tehát a háromszög egyenlő oldalú, $K L = K M$ .

Az, hogy

k

átmegy

A'

-n is, következik most már abból, ha megmutatjuk, hogy a

K C M

és

K C A'

háromszögek egybevágók. A két háromszög

K C

oldala közös, másrészt

C M = C A'

, mivel mindkettő a

C

középpontú kör sugara. Megmutatjuk, hogy a két oldal közti

K C M

és

K C A'

szögek egyenlők. Az utóbbi a

B C K

szöggel kisebb, mint a

B C A'

szög, ami

60^{\circ}

-os. Az előbbi a

60^{\circ}

-os

A C B

szögből a

B C K

szög hozzátevésével és az

A C M

szög elvételével keletkezik.
A

φ = B C K ∢

A

körüli kör (rövidebb)

B K

ívén nyugvó kerületi szög; az

A C M ∢

C

körüli ugyanakkora sugarú kör (rövidebb)

A M

ívén nyugvó középponti szög. Mivel a két körív feltétel szerint egyenlő, így

A C M ∢ = 2 φ

K C A' ∢ = 60^{\circ} - φ

K C M ∢ = 60^{\circ} + φ = 2 φ = 60^{\circ} - φ

. A két háromszög tehát egybevágó,

K C M △ ≅ K C A' △

K A' = K M

, s így

k

átmegy

A'

-n is.

Makai Endre (Budapest, Eötvös J. g. I. o. t.)

Megjegyzések. A

K A' = K M

egyenlőséget több más úton is megkaphatjuk, így
1. Ha a

C A' K

háromszöget úgy forgatjuk el

C

körül

60^{\circ}

-kal, hogy

A'

B

-be jusson, akkor,

K

új helyzetét

K'

-vel jelölve a

C K K' △

szabályos, ezért

B K K' ∢ = B K C ∢ - K' K C ∢ = 150^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}

. Ugyancsak derékszög a

M B K

szög is, mert

\begin{matrix} M B K ∢ = A B C ∢ + M B A ∢ + C B K ∢ = A B C ∢ + (K C B ∢ + C B K ∢) = \\ = A B C ∢ + (180^{\circ} - B K C ∢) = 60^{\circ} + 180^{\circ} - 150^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}

Így a

K' K B

és

M B K

háromszögek egybevágók, tehát

K A' = K' B = M K

Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. g. IV. o. t.)

2. Az

L M

szakaszt

A'

-ből

\begin{matrix} L A' M ∢ = C A' B ∢ - (C A' L ∢ + M A' B ∢) = 60^{\circ} - \frac{1}{2} (C B L ∢ + M C B ∢) = \\ = 60^{\circ} - \frac{1}{2} (C B L ∢ + L B A ∢) = 30^{\circ} \end{matrix}

szögben látjuk, fele akkora szögben mint

K

-ból. Mivel még

K

és

A'

L M

ugyanazon partján vannak, azért az

L M

szakasz

30^{\circ}

nyílású egyik látószög-körívének középpontja

K

, és

A'

rajta van a

K

körül

K L

sugárral írt körön.

Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)