Kezdőlap


Feladat:	1166. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Abos I. , Bodoky Andrea , Demendy Zoltán , Nagy Dénes Lajos , Reuss P. , Simonovits Miklós , Vesztergombi György , Zalán Péter
Füzet:	1963/január, 19 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Gömbi geometria, Egyenes körkúpok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 1166. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen a gömb sugara $r$ és a gömbsüveg magassága $m$ . Ekkor a kúp magassága $r - m$ , alapjának sugarára $ϱ^{2} = r^{2} - {(r - m)}^{2} = m (2 r - m)$ . A kívánt úszási helyzetben a kúp kiszorította víz tömege és a gömbcikk tömege egyenlők:

\begin{matrix} \frac{m (2 r - m) (r - m) π}{3} = \frac{2 r π m \cdot r \cdot d}{3} \\ (2 r - m) (r - m) = 2 r^{2} d . & (1) \end{matrix}

Innen mindjárt a keresett

r - m = x

mélységre kaphatunk egyenletet:

\begin{matrix} (r + x) x = 2 r^{2} d, x^{2} + r x - 2 r^{2} d = 0. \end{matrix}

A két gyök szorzata:

- 2 r^{2} d

, negatív, mert

d > 0

, ezért a két gyök ellentett előjelű (és természetesen biztosan valós). Csak a pozitív gyököt használhatjuk, tehát

\begin{matrix} x = r (\sqrt[]{1 + 8 d} - 1) / 2. \end{matrix}

Úszás nyilván csak

d < 1

mellett lehetséges, így a zárójeles kifejezés értéke kisebb 2-nél, tehát

x < r

, aminek nyilván teljesülnie kellett.
A kúp

α

fél-nyílásszögére

cos α = x / r

, tehát (radiánban, ill. fokban):

\begin{matrix} α_{rad} = arc cos \frac{\sqrt[]{1 + 8 d} - 1}{2}, α = \frac{180^{\circ}}{π} arc cos \frac{\sqrt[]{1 + 8 d} - 1}{2} . \end{matrix}

b) A második úszási feltétel mellett a gömbszelet kiszorította víz tömege egyenlő a gömbcikk tömegével:

\begin{matrix} \frac{m^{2} π}{3} (3 r - m) = \frac{2 r π m \cdot r \cdot d}{3}, \\ m^{2} - 3 r m + 2 r^{2} d = 0, m = \frac{r}{2} (3 \pm \sqrt[]{9 - 8 d}) . & (2) \end{matrix}

Eszerint

d < 9 / 8

mellett mindkét gyök valós, éspedig pozitív.
Ha

d < 1

, akkor a diszkrimináns nagyobb 1-nél, ezért a nagyobb gyök nagyobb a gömb

2 r

átmérőjénél, feladatunkban nem értelmezhető; a kisebb gyök viszont kisebb

r

-nél, tehát az eredményül adódó gömbcikk kisebb félgömbnél.

d = 1

esetén

m_{1} = r

m_{2} = 2 r

, mindkét megoldás elfajult. Az elsőben félgömbről van szó, a kúppalást körlappá terül ki; a kívánt úszás azonban lehetséges. A második megoldásban a gömböt nem vágtuk ketté, nincs kúppalást.

1 < d < 9 / 8

esetén a diszkrimináns kisebb 1-nél, mindkét

m

-gyök

r

és

2 r

közé esik, konkáv gömbcikket ad, és így a test a víznél nagyobb sűrűsége ellenére úszik. Pl.

d = 35 / 32

esetén

m_{1} = 5 r / 4

m_{2} = 7 r / 4

. Végül

d = 9 / 8

esetén a gyakorlat szempontjából egyetlen megoldás:

m = 3 r / 2

.
A gömbcikk csúcsa

d < 1

esetén a víz felett van,

d > 1

esetén pedig alatta, távolsága a felszíntől mindig

| r - m |

. A tömör gömbcikkrész félnyílásszöge itt is a

cos α = (r - m) / r

képlettel számítható.

1 < d \leq 9 / 8

esetén

α

tompaszög,

d = 9 / 8

esetén éppen

120^{\circ}

Nagy Dénes Lajos (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A dolgozatok zöme a b) részben is

x

-re írt fel egyenletet és itt is csak a pozitív gyököt fogadta el, nem gondolt konkáv gömbcikkre, amelynél a határoló kúppalást a várakozással ellentétben a vízszintes alatt van, ‐ de mégsem érintkezik a vízzel. Ez a szemléletmód sokaknál a körcikk és a körszelet szűk szemléletében gyökerezik. Jegyezzük meg, a két sugárral, ill. egy húrral kettévágott körlemez mindkét része körcikk, ill. körszelet, nemcsak a kisebb. Észrevehető a különbség a b) kérdés óvatosabb fogalmazásában is az a)-éval szemben: ,,milyen mélyen van ...'', ill. ,,a felszínhez viszonyított helyzet.'' A

d > 1

esetet az úszás lehetetlensége alapján elvető versenyzők nem gondoltak pl. a vas hajók úszására.
Volt viszont, aki az a) részben gondolt konkáv gömbcikkre, rajzán az egész test a külső vízszint fölött van, a kúpalakú üreg tele van vízzel, és így ,,valósul meg'' a palást érintkezése a vízzel. Ez fizikailag lehetetlen.
Néhányan kimondták, hogy a b) eset mindkét

m

-gyöke pozitív, de az elvont tárgyalás után az eredmény értékelése végett nem tértek vissza a gyakorlathoz. Ez gyakorlati feladatban hiány.
2. Számos dolgozat pongyolán használja az ,,arc cos'' jelölést. Ebben ,,arc'' = arkusz, magyarul ívet jelent (,,árkus-papír''), vagyis ívmértékben, radiánban vett szöget. Az ,,arc cos

x

'' jelölés pedig a ,,koszinusz arkusza'', pontosabban: az

x

számhoz mint koszinusz-értékhez tartozó ív. (Ezt a pongyolaságot természetesen nem vettük hibának.)
3. A (2) egyenlet csak az

m

-mentes tagban tér el (1) kifejtett alakjától:

m^{2} - 3 r m + 2 (1 - d) r^{2} = 0

-tól. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy (1)-ben

d

helyére (

1 - d

)-t írva kapjuk (2)-t, fizikai szempontból pedig a következőképpen értelmezhetjük.

V

térfogatú

d

sűrűségű testet vízbe téve

V_{1} = V d

térfogatú része merül vízbe és

V_{2} = V (1 - d)

térfogatú része marad a levegőben. Az a) és b) úszási helyzetek (konvex gömbcikkre) éppen megcserélik a bemerült, ill. levegőn levő rész-testeket:

V'_{1} = V_{2}

és

V'_{2} = V_{1}

; ebből adódik a

d

1 - d

csere.

Bodoky Andrea (Budapest, Teleki B. lg. IV. o. t.)
Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. gyak. g. IV. o. t.)

4. Az előző megjegyzés megmagyarázza azt a véletlen észrevételt, hogy

d = 0, 5

mellett az a) és b) feltételnek eleget tevő gömbcikk magassága egyenlő. Ekkor

α = 51, 8^{\circ}

, tehát a

103, 6^{\circ}

teljes nyílású gömbcikk mindkét helyzetben úszhat.

Demendy Zoltán (Budapest, Hengersor úti g. IV. o. t.)

5. A feladat szövegének megfelelően a fentiekben az úszás biztosságát, stabilitását nem vettük tekintetbe.