|
Feladat: |
1166. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Abos I. , Bodoky Andrea , Demendy Zoltán , Nagy Dénes Lajos , Reuss P. , Simonovits Miklós , Vesztergombi György , Zalán Péter |
Füzet: |
1963/január,
19 - 21. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Gömbi geometria, Egyenes körkúpok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/március: 1166. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen a gömb sugara és a gömbsüveg magassága . Ekkor a kúp magassága , alapjának sugarára . A kívánt úszási helyzetben a kúp kiszorította víz tömege és a gömbcikk tömege egyenlők:
Innen mindjárt a keresett mélységre kaphatunk egyenletet: | | A két gyök szorzata: , negatív, mert , ezért a két gyök ellentett előjelű (és természetesen biztosan valós). Csak a pozitív gyököt használhatjuk, tehát Úszás nyilván csak mellett lehetséges, így a zárójeles kifejezés értéke kisebb 2-nél, tehát , aminek nyilván teljesülnie kellett. A kúp fél-nyílásszögére , tehát (radiánban, ill. fokban): | |
b) A második úszási feltétel mellett a gömbszelet kiszorította víz tömege egyenlő a gömbcikk tömegével:
Eszerint mellett mindkét gyök valós, éspedig pozitív. Ha , akkor a diszkrimináns nagyobb 1-nél, ezért a nagyobb gyök nagyobb a gömb átmérőjénél, feladatunkban nem értelmezhető; a kisebb gyök viszont kisebb -nél, tehát az eredményül adódó gömbcikk kisebb félgömbnél.
esetén , , mindkét megoldás elfajult. Az elsőben félgömbről van szó, a kúppalást körlappá terül ki; a kívánt úszás azonban lehetséges. A második megoldásban a gömböt nem vágtuk ketté, nincs kúppalást. esetén a diszkrimináns kisebb 1-nél, mindkét -gyök és közé esik, konkáv gömbcikket ad, és így a test a víznél nagyobb sűrűsége ellenére úszik. Pl. esetén , . Végül esetén a gyakorlat szempontjából egyetlen megoldás: . A gömbcikk csúcsa esetén a víz felett van, esetén pedig alatta, távolsága a felszíntől mindig . A tömör gömbcikkrész félnyílásszöge itt is a képlettel számítható. esetén tompaszög, esetén éppen .
Nagy Dénes Lajos (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. A dolgozatok zöme a b) részben is -re írt fel egyenletet és itt is csak a pozitív gyököt fogadta el, nem gondolt konkáv gömbcikkre, amelynél a határoló kúppalást a várakozással ellentétben a vízszintes alatt van, ‐ de mégsem érintkezik a vízzel. Ez a szemléletmód sokaknál a körcikk és a körszelet szűk szemléletében gyökerezik. Jegyezzük meg, a két sugárral, ill. egy húrral kettévágott körlemez mindkét része körcikk, ill. körszelet, nemcsak a kisebb. Észrevehető a különbség a b) kérdés óvatosabb fogalmazásában is az a)-éval szemben: ,,milyen mélyen van ...'', ill. ,,a felszínhez viszonyított helyzet.'' A esetet az úszás lehetetlensége alapján elvető versenyzők nem gondoltak pl. a vas hajók úszására. Volt viszont, aki az a) részben gondolt konkáv gömbcikkre, rajzán az egész test a külső vízszint fölött van, a kúpalakú üreg tele van vízzel, és így ,,valósul meg'' a palást érintkezése a vízzel. Ez fizikailag lehetetlen. Néhányan kimondták, hogy a b) eset mindkét -gyöke pozitív, de az elvont tárgyalás után az eredmény értékelése végett nem tértek vissza a gyakorlathoz. Ez gyakorlati feladatban hiány. 2. Számos dolgozat pongyolán használja az ,,arc cos'' jelölést. Ebben ,,arc'' = arkusz, magyarul ívet jelent (,,árkus-papír''), vagyis ívmértékben, radiánban vett szöget. Az ,,arc cos '' jelölés pedig a ,,koszinusz arkusza'', pontosabban: az számhoz mint koszinusz-értékhez tartozó ív. (Ezt a pongyolaságot természetesen nem vettük hibának.) 3. A (2) egyenlet csak az -mentes tagban tér el (1) kifejtett alakjától: -tól. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy (1)-ben helyére ()-t írva kapjuk (2)-t, fizikai szempontból pedig a következőképpen értelmezhetjük. térfogatú sűrűségű testet vízbe téve térfogatú része merül vízbe és térfogatú része marad a levegőben. Az a) és b) úszási helyzetek (konvex gömbcikkre) éppen megcserélik a bemerült, ill. levegőn levő rész-testeket: és ; ebből adódik a , csere.
Bodoky Andrea (Budapest, Teleki B. lg. IV. o. t.) Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. gyak. g. IV. o. t.)
4. Az előző megjegyzés megmagyarázza azt a véletlen észrevételt, hogy mellett az a) és b) feltételnek eleget tevő gömbcikk magassága egyenlő. Ekkor , tehát a teljes nyílású gömbcikk mindkét helyzetben úszhat. Demendy Zoltán (Budapest, Hengersor úti g. IV. o. t.)
5. A feladat szövegének megfelelően a fentiekben az úszás biztosságát, stabilitását nem vettük tekintetbe.
|
|