Kezdőlap


Feladat:	1162. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Farkas Zoltán , Fejéregyházi Sándor , Gálfi László , Garai G. , Gerencsér László , Gyárfás András , Huber Tibor , Lánc József , Lehel J. , Magyar Erzsébet , Major I. , Makai E. , Máté Attila , Máté Eörs , Nováky Béla , Raisz Miklós , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Somogyi K. , Surányi Andor , Szentai Judit , Szepesvári István , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Zalán Péter
Füzet:	1962/november, 126 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 1162. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kétjegyű szám (egyenlő) jegyeit $x$ -szel, a négyzetéit $y$ -nal és a számrendszer alapszámát $b$ -vel. Ekkor $b$ legalább 2, $x$ és $y$ kisebb $b$ -nél és egyik sem 0. A feladat feltétele így írható:

\begin{matrix} \bar{x x^{2}} = \bar{y y y y}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(x b + x)}^{2} = y b^{3} + y b^{2} + y b + y . \end{matrix}

Kiemeléssel, majd

b + 1

-gyel (ami nem 0) egyszerűsítve

\begin{matrix} x^{2} {(b + 1)}^{2} = y b^{2} (b + 1) + y (b + 1) = y (b + 1) (b^{2} + 1), \\ x^{2} (b + 1) = y (b^{2} + 1) . \end{matrix}

A bal oldal osztható

b + 1

-gyel, ezért a jobb oldal is. A jobb oldalon egy

b + 1

-gyel nyilvánvalóan osztható részt különválasztunk:

\begin{matrix} x^{2} (b + 1) = y (b^{2} - 1 + 2) = y (b + 1) (b - 1) + 2 y . \end{matrix}

(1)

Eszerint a jobb oldal csak úgy lehet

b + 1

-gyel osztható, ha

2 y

osztható vele. Másrészt

0 < 2 y < 2 b

, tehát kell, hogy

2 y = b + 1

legyen és (1)-ből

\begin{matrix} x^{2} = y (b - 1) + 1, \end{matrix}

(2)

vagy 2-vel szorozva, hogy

y

-t kiküszöböljük:

\begin{matrix} 2 x^{2} = (b + 1) (b - 1) + 2 = b^{2} + 1. \end{matrix}

Ezek szerint

b

csak a

\begin{matrix} b^{2} = 2 x^{2} - 1 \end{matrix}

(3)

egyenletet kielégítő szám lehet.
Könnyű látni, hogy

x = 1

b = 1

kielégíti az egyenletet, de kérdésünknek nem megoldása, mert 1 nem lehet számrendszer alapszáma, és nem áll

x < b

. További megoldást keresve

b

csak páratlan lehet, mert

b^{2}

páratlan. Így pedig

x

sem lehet páros, mert

2 x^{2} = b^{2} + 1 = {(2 k + 1)}^{2} + 1 = 4 k (k + 1) +

2, tehát

x^{2} = 2 k (k + 1) + 1

, páratlan. Mindjárt az

x = 5

próba megoldást ad:

b = 7

, és ebből

y = 4

. Eszerint

\begin{matrix} {(55_{7})}^{2} = 4444_{7} . \end{matrix}

(A tízes rendszerben az alap

5 \cdot 7 + 5 = 40

, a négyzete

4 \cdot 7^{3} + 4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 4 = 4 (7^{2} + 1) (7 + 1) = 1600

, tehát az eredmény helyes.)
Tetszés szerinti számú megoldást kapunk az

x_{0} = 1

b_{0} = 1

megoldásból kiindulva az

x_{k + 1} = 3 x_{k} + 2 b_{k}

b_{k + 1} = 4 x_{k} + 3 b_{k}

képletpár alapján.¹ Ha ugyanis

x_{k}

b_{k}

megoldás, azaz

\begin{matrix} b_{k}^{2} - 2 x_{k}^{2} + 1 = 0, \end{matrix}

akkor

x_{k + 1}

b_{k + 1}

is megoldás, mert

\begin{matrix} b_{k + 1}^{2} - 2 x_{k + 1}^{2} + 1 = 16 x_{k}^{2} + 24 x_{k} b_{k} + 9 b_{k}^{2} - 18 x_{k}^{2} - 24 x_{k} b_{k} - 8 b_{k}^{2} + 1 = \\ = b_{k}^{2} - 2 x_{k}^{2} + 1 = 0. \end{matrix}

A képletpárral

x_{1} = 3 + 2 = 5

és

b_{1} = 4 + 3 = 7

; ezt találtuk meg próbálgatással. A következő megoldás²

x_{2} = 29

b_{2} = 41

és

y_{2} = 21

Gálfi László (Budapest, I. István g. IV. o. t.)

Megjegyzés. (2)-ből

b

kiküszöbölésével

\begin{matrix} x^{2} = 2 y^{2} - 2 y + 1 = y^{2} + {(y - 1)}^{2}, \end{matrix}

eszerint az

x

y

számjegyekre minden olyan pythagorászi számhármas átfogószáma, ill. nagyobb befogószáma megoldást ad, melyben a befogószámok különbsége 1. Ezek csak alap hármasok lehetnek, mert nem alaphármasban a befogószámok különbsége nyilván többszöröse a legnagyobb közös osztónak. Ezzel az észrevétellel azonban nem jutottunk közelebb a megoldáshoz, mert ha az ismert képletrendszer³ befogó képleteivel

\begin{matrix} (u^{2} - v^{2}) - 2 u v = \pm 1, akkor {(u - v)}^{2} = 2 v^{2} \pm 1, \end{matrix}

azaz ismét a (3) típusú egyenletre jutottunk, ill. arra, amely belőle

- 1

helyére

+ 1

-et írva adódik.

¹Lásd pl. Erdős Pál‐Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből (Budapest, 1960, Tankönyvkiadó) 200. o. 6. fd.

²Igaz az is, de bizonyítása nem könnyű, hogy a fenti összefüggések alapján kiszámított $x_{k}$ , $b_{k}$ számpárok megadják (2) összes megoldását.

³Lásd legutóbb K. M. L. 23 (1961/12) 212-213. o.