A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az eljárást így mondhatjuk ki: Legyen páratlan, 5-tel nem osztható (természetes) szám, és ennek valamely, 1-es jegyre végződő többszöröse , ahol természetes szám. Az (többjegyű) szám akkor és csak akkor osztható -vel, ha az utolsó jegyének elhagyásával nyert számból az elhagyott jegy -szorosát levonva a nyert különbség osztható -vel. A bizonyításban utolsó jegyét -val, az elhagyásával nyert számot -vel, a különbséget -gyel jelöljük. Eszerint és . Tekintsük a számot. Erre , ahol és az a (természetes) szám, amellyel -t szorozva -et kaptuk. Eszerint ha osztható -vel, azaz , ahol egész szám, akkor is osztható vele, mert | | és egész szám. A feltevés szerint a -höz képest relatív prim, mert -nek egyik tényezőjével sem osztható, azért csak úgy osztható -vel, ha osztható vele. Ha viszont nem osztható -vel, akkor sem, ugyanannyi maradékot ad -vel osztva, mint . Így sem lehet osztható -vel. Fordítva, ha osztható -vel, akkor is és is osztható -vel. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. -hez mindig található az 1-re végződő többszöröst adó szám, mert utolsó jegye ennélfogva gyanánt minden olyan szám megfelel, melynek utolsó jegye rendre Ennek alapján minden egyes osztó mellett több , ill. számot is használhatunk. Pl. , 11 esetében a legkisebb a már látott 2, ill. 1, a esetben pedig -ből , és ezekkel a szorzat könnyen képezhető. De gondolva arra, hogy , mindhárom esetben jól használható is, amíg , , , , -nek még elegendő számú jegye van. Látjuk azonban, hogy az , , , számok rövidülésében az utolsó jegy elhagyása a lényeges. Megjegyezzük még, hogy ha nem osztható -vel, akkor az osztás maradéka általában más, mint az (és ) osztás maradéka.
Szép András (Budapest, Rákóczi F. g. II. o. t) Páros, valamint 5-re végződő -vel az eljárás csak azért nem alkalmazható, mert nincs 1-re végződő többszörösük. |