Kezdőlap


Feladat:	1155. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kőszegi László , Móri Antal
Füzet:	1963/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Kettes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 1155. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bontsuk 136-ot tényezőkre: $136 = 8 \cdot 17 = 2^{3} (2^{4} + 1)$ . Az $N$ szám négy 1-es számjegye jobbról számítva a 14., 16., 106. és 140. helyen áll, ezért a szám egyszerűbben így is írható:

\begin{matrix} N = 2^{139} + 2^{105} + 2^{15} + 2^{13} . \end{matrix}

Kiemeléssel és a négy tag alkalmas párosításával pedig így alakítható:

\begin{matrix} N = 2^{13} [(2^{126} + 2^{2}) + (2^{92} + 1)] = 2^{13} [2^{2} (16^{31} + 1) + (16^{23} + 1)] . \end{matrix}

Itt az első tényező osztható

2^{3}

-nal és a szögletes zárójel mindkét tagja osztható

16 + 1

-gyel ‐ ugyanis ha

n

pozitív páratlan szám, akkor

a^{n} + b^{n}

osztható

a + b

-vel,

b = 1

mellett

a^{n} + 1

osztható

a + 1

-gyel. Ezért

N

osztható a

2^{3} \cdot 17

szorzattal.

Móri Antal (Budapest, Kossuth L. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Írjuk 17-et a 2-es számrendszerbeli:

{(10001)}_{2}

. Ezzel osztható a nyolc 1-essel írt szám, mert

\begin{matrix} {(11 111 111)}_{2} & = {(10 001 000)}_{2} + {(1 000 100)}_{2} + {(100 010)}_{2} + {(10 001)}_{2} = \\ = {(1111)}_{2} \cdot {(10 001)}_{2} . \end{matrix}

Így az 1-gyel nagyobb

{(100 000 000)}_{2} = 2^{8}

szám 17-tel osztva 1-et ad maradékul, és ugyanezt mondhatjuk a további nyolc 0 hozzáírásával keletkező számról,

2^{16}

-ról, mert az első 9-jegyű rész osztása után 1 maradék marad. Ehhez egyszerre ,,véve le'' a további nyolc 0-t a kapott szám ismét 1-et ad

17 = {(10 001)}_{2}

-gyel osztva. Ugyanez áll, valahányszor egy 1-es után 8-cal osztható számú 0 áll. Ha a 0-k száma (vagyis 2 kitevője) 8-cal osztva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 maradékot ad, akkor a szám 17-tel osztva rendre ugyanannyi maradékot ad, mint

{(10)}_{2} = 2

{(100)}_{2} = 4

{(1000)}_{2} = 8

{(10 000)}_{2} = 16

{(100 000)}_{2} = 32

{(1 000 000)}_{2} = 64

, ill.

{(10 000 000)}_{2} = 128

.
Így

2^{126} + 2^{92} + 2^{2} + 1

ugyanannyi maradékot ad, mint

2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 1 = 85 = 5 \cdot 17

, vagyis osztható 17-tel, tehát

N

osztható 17-tel.

Kőszegi László (Baja, III. Béla g. III. o. t.)

2. Azt is látjuk, hogy

N

136 \cdot 2^{10}

szorzattal is osztható.