Kezdőlap


Feladat:	1154. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ámon Magdolna , Antus S. , Bakcsy Gy. , Benczúr András , Bodoky Andrea , Csákó Gy. , Demendy Zoltán , Farkas Zoltán , Gálfi László , Gerencsér László , Ghihor Zoltán , Gyárfás András , Horváth Kálmán , Huber Tibor , Kéry G. , Kotsis Domokos , Kunszt Zoltán , Lehel J. , Magyar Erzsébet , Magyar Gábor , Major J. , Makai E. , Máté Eörs , Nárai György , Nováky Béla , Pusztai T. , Raisz Miklós , Reuss P. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simon István , Somos Péter , Sonnevend György , Surányi Andor , Szép A. , Szidarovszky Ferenc , Szigeti Ferenc , Szirai József , Tamás Endre , Treer Mária , Varga L. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán Péter
Füzet:	1962/november, 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyökös függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 1154. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott kifejezésben $y$ több helyen fordul elő (implicit formában határozza meg az $y$ függését $x$ -től). Hogy $y$ -t kifejezhessük (explicit alakban megadhassuk $x$ -től való függését), alakítsuk át az összefüggést:

\begin{matrix} \sqrt[]{y^{2} - 2 x y + 3 x - 2} = 2 x - y - 1. \end{matrix}

(1)

A bal oldal nem negatív, tehát a jobb sem, vagyis

\begin{matrix} 2 x - y - 1 ≧ 0, amiből y ≦ 2 x - 1. \end{matrix}

(2)

(1)-ből négyzetreemeléssel, majd az

y

-t tartalmazó tagokat a bal oldalra gyűjtve:

\begin{matrix} 2 x y - 2 y = 4 x^{2} - 7 x + 3, innen & (3) \\ 2 y (x - 1) = 4 (x - 1) (x - 3 / 4) = (x - 1) (4 x - 3), \\ végül (x - 1) (2 y - 4 x + 3) = 0. & (4) \end{matrix}

Eszerint ha

x - 1 \neq 0

, azaz

x \neq 1

, akkor

\begin{matrix} 2 y - 4 x + 3 = 0, y = 2 x - 1, 5. \end{matrix}

(5)

Ha pedig

x = 1

, akkor (4) az

y

értékétől függetlenül minden a (2) által megengedett

y

-ra teljesül. Így az

x = 1

helyen a függvény értéke nincs egyértelműen meghatározva: végtelen sok értéket vehet fel. Minthogy pedig (5) mellett mindig teljesül a (2) követelmény, függvényünk csak abban tér el az

y = 2 x - 1, 5

függvénytől, hogy az

x = 1

helyen nincs értelmezve. Ezért képe az

y = 2 x - 1, 5

egyenes, az

x = 1

y = 0, 5

pont kihagyásával (ezt jelzi az ábrán az üres kör).

Huber Tibor (Budapest, Kossuth L. gépip. t. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A (4) szorzat‐alakot a (3) egyenlet 0-ra redukálásával és

x

-re való megoldásával is megkaphatjuk:

\begin{matrix} 4 x^{2} - (7 + 2 y) x + (2 y + 3) = 0, \end{matrix}

a diszkrimináns:

\begin{matrix} 49 + 28 y + 4 y^{2} - 32 y - 48 = 4 y^{2} - 4 y + 1 = {(2 y - 1)}^{2}, így \\ x = \frac{1}{8} [7 + 2 y \pm (2 y - 1)], x_{1} = 1, x_{2} = 0, 5 y + 0, 75. \end{matrix}

2. Több dolgozat a függvény képéhez hozzáveszi az

x = 1

egyenesnek a (2)-ből adódó

y ≦ 1

feltételt kielégítő félegyenesét is. Ez megfelel annak, ha elfogadjuk, hogy a függvény

x = 1

-hez végtelen sok értéket rendeljen hozzá, vagy másképp fogalmazva, ha azt a geometriai alakzatot keressük, amelynek pontjai az adott egyenletet kielégítik, vagyis ha a geometria a főszempont, és a számösszefüggések a segédeszköz szerepét játsszák. Éppen a szerepek ilyen rangsorolásában is különbözik egymástól a koordinátageometria és a függvényábrázolás.