|
Feladat: |
1152. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baróti György , Bellay Ágnes , Benczúr András , Bokody andrea , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Földes Antónia , Gálfi László , Kotsis D. , Kunszt Zoltán , Lehel J. , Nárai György , Raisz M. , Reuss P. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Somogyi K. , Sonnevend György , Surányi A. , Szentai Judit , Szepesvári István , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Varga L. , Vincze I. , Zalán Péter , Zalay M. |
Füzet: |
1962/december,
216 - 219. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Műveletek helyvektorok koordinátáival, Egyenesek egyenlete, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/január: 1152. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A feladatot alkalmas koordinátarendszer bevezetésével oldjuk meg. Válasszuk tengelyekül az , egyeneseket úgy, hogy és a negatív féltengelyeken legyenek és egységül a kör sugarát, tehát és koordinátái , ill. . helyzetét az sugár forgásszögével határozzuk meg, a és pontokét pedig koordinátáikkal. koordinátái (, ); minden -tól és -től különböző helyzetét tekintetbe kell vennünk a körön, tehát , , .
1. ábra A -t és -et meghatározó egyenesek egyenlete:
ennélfogva a pontok koordinátái, mint függvényei:
és látható, hogy a abszcisszájára nyert képlet mellett is érvényes. Amíg , befutja a átmérőt a pont kivételével ( az pont), a értékekre befutja az sugár -n túli meghosszabbítását, végül a értékekre az sugár -n túli meghosszabbítását. Így ha a III körnegyedben van, abszcisszája kisebb -nél, egyébként nagyobb nála. ‐ viszont a értékekre az félegyenest futja be ( a pont), , mellett pedig az kezdetű, -n átmenő félegyenest, fordított sorrendben, az pont kivételével. Így ha a III negyedben van, ordinátája kisebb -nél, egyébként nagyobb nála. b) A és közti kapcsolat megállapításához abszcisszája és ordinátája között kell összefüggést keresnünk. Ehhez célszerű mindkettőt -nek egyetlen szögfüggvényével kifejezni, azután ezt a két kifejezésből kiküszöbölni. Erre a kifejezés a legalkalmasabb (hacsak , de ezt az értéket már kizártuk): | | (1) | (mindig érvényes, mert a , értéket kizártuk) és | | (1a) | kiküszöbölésével az és közötti keresett összefüggés: | | (2) | Láttuk, hogy nem eshet -be, ezért az érték ki van zárva, tehát minden értékéhez egy és csak egy tartozik, azaz minden -hoz egy és csak egy pont, a szerkesztő eljárásnak megfelelően. (2) így is írható:
2. ábra c) , , , , pontunk szerepét átadva a 662. gyakorlat , , , , ill. pontjának (2. ábra), , ill. szerepét az ottani , ill. kapja és
tehát a 662. gyakorlat b) részében feladatunknak egy határozott értékkel adódó esetét vizsgáltuk. Ezzel (1) alapján, az ottani eredménnyel megegyezésben: | |
d) Az négyszög a értékekre hurkolt (1. ábra), területe nincs értelmezve. A és értékekre a terület az és háromszögek területének összege (3‐4. ábrák): | |
| |
Az első intervallumon végighaladva és növekednek, a másodikon végighaladva és fogynak, így nem állandó. Végül a intervallumban (5. ábra, az alsó pont helyesen ):
ugyanis ‐ mint fent megjegyeztük ‐ itt mindig , , ezért , (2)-ben számlálója pozitív, nevezője negatív. Az utolsó alak első tagja elsőfokú függvény, második tagja elsőfokú törtfüggvény, képük egyenes, ill. hiperbola, így a értékét megadó függvény képe nem egyenes, értéke itt sem állandó. (Az négyszög területe viszont a intervallum kivételével állandó, mert átlói, és merőlegesek, hosszuk , ill. ‐ a fentiek szerint pozitívok ‐ és így (3) felhasználásával | | A értékekre az négyszög hurkolt.) Kunszt Zoltán (Pápa, Türr I. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Amíg , értékét az derékszögű háromszögből a kerületi szög tételének felhasználásával is egyszerűen kapjuk. Így ugyanis mindig az félegyenesen van, ezért | | Míg -tól -ig növekszik ‐ vagy ami ugyanaz, -tól -ig ‐, csak annyi a változás, hogy negatívját kell vennünk, mert a félkör a félkör tükörképe az -tengelyre nézve. Kifejezésünk tehát helyes, mert egy szög tangensének negatívja egyenlő a szög negatívjának tangensével. Hasonlóan látható be, hogy a háromszögből nyert
kifejezés is mindig helyes.
Ezzel a választással egyszerűbb lesz a 662. gyakorlattal való összehasonlítás. |
|