Kezdőlap


Feladat:	1151. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ámon Magdolna , Bán Tamás , Baróti György , Benczúr András , Bodoky Andrea , Demendy Z. , Dobó Ferenc , Farkas M. , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Fejéregyházi Sándor , Ferenczi Éva , Fodor J. , Földeáki Mária , Földes I. , Gács I. , Gálfi László , Kádár L. , Kármán A. , Kunszt Zoltán , László Erika , Lehel J. , Magyar Erzsébet , Mihályi Zoltán , Nagy Dénes Lajos , Nagy Ernő , Nagy Géza , Nováky Béla , Opálény M. , Orbán Szilvia , Parragh Z. , Raisz Miklós , Renner G. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Somogyi K. , Sonnevend György , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Tamás E. , Varga L. , Vincze I. , Zalán Péter , Zalay M.
Füzet:	1962/december, 214 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Trigonometriai azonosságok, Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 1151. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Az utolsó kivételével mindegyik példában egy-egy $45^{\circ}$ alatti, ill. fölötti hegyes szögre kapunk közelítést, az utolsó, egyenlő szárú háromszögből pedig $45^{\circ}$ -ra. Így a $0^{\circ} - 90^{\circ}$ intervallum közepén és $8$ kb. egyenletesen elosztott helyén kapjuk meg a közelítés mértékét.
Az alábbi táblázatban $α$ az $a$ befogóval szemben fekvő hegyes szögnek a függvénytáblázatból számított ,,pontos'' értékét, $α'$ pedig ugyanennek az adott képlettel számított közelítő értékét jelenti. Az utóbbit tetszés szerinti pontosságig számíthatnók, $a$ -ban viszont a táblázat $4$ értékes jegynyi pontosságára vagyunk korlátozva, ezért $a'$ -t is csak $4$ tizedesre számítjuk. A táblázat kerekítéseiből és az interpolációból eredő hibák kiegyenlítődésére számítva $α$ értéke gyanánt a $sin α$ -ból, $cos α$ -ból, $tg α$ -ból és $ctg α$ -ból visszakeresett eredmények közepét vettük.

\begin{matrix} a & b & c & α(fok)a(radián) & a' = \frac{3 a}{2 c + b} & d = a' - a & δ = \frac{| d |}{a} & a''1 \\ I. & 11 & 60 & 61 & 10, 39^{\circ} = 0, 1813 & 0, 1813 & 0 & 0% & 10, 384^{\circ} \\ II. & 51 & 140 & 149 & 20, 02^{\circ} = 0, 3494 & 0, 3493 & - 1 \cdot 10^{- 4} & 0, 03% & 20, 006^{\circ} \\ III. & 11 & \sqrt[]{3} & 2 & 30^{\circ} = 0, 5236 & 0, 5234 & - 2 \cdot 10^{- 4} & 0, 04% & 29, 975^{\circ} \\ IV. & 88 & 105 & 137 & 39, 96^{\circ} = 0, 6974 & 0, 6966 & - 8 \cdot 10^{- 4} & 0, 12% & 39, 894^{\circ} \\ V. & 1 & 1 & \sqrt[]{2} & 45^{\circ} = 0, 7854 & 0, 7836 & - 18 \cdot 10^{- 4} & 0, 23% & 44, 879^{\circ} \\ IV. & 105 & 88 & 137 & 50, 04^{\circ} = 0, 8734 & 0, 8702 & - 32 \cdot 10^{- 4} & 0, 37% \\ III. & \sqrt[]{3} & 1 & 2 & 60^{\circ} = 1, 0472 & 1, 0392 & - 80 \cdot 10^{- 4} & 0, 76% \\ II. & 140 & 51 & 149 & 69, 98^{\circ} = 1, 2214 & 1, 2034 & - 180 \cdot 10^{- 4} & 1, 5% \\ I. & 60 & 11 & 61 & 79, 61^{\circ} = 1, 3895 & 1, 3534 & - 361 \cdot 10^{- 4} & 2, 6% \end{matrix}

(Példáinkban mind a négy könnyen számítható,) majd a táblázat felhasználásával számítottuk át radiánra.
A közelítés finomabb vagy durvább voltát kézenfekvő

a'

-nek

a

-tól való

d = a' - a

eltéréséből megítélni. Gyakorlati célra azonban jellemzőbb és használatosabb a

d / a

hányados, ill. a

100 d / a

ún. relatív (százalékos) hiba. Mint látjuk,

d

mindig negatív, a közelítő érték kisebb a valódinál, és

d

abszolút értéke

a

-val rohamosan növekszik,

| d | / a

már kisebb mértékben.

45^{\circ}

-on aluli szögekre a relatív hiba

1 / 4 %

-nál kisebb, így a közelítés jónak,

20^{\circ}

-on alul igen jónak mondható. Nyilvánvaló tehát, hogy ezzel az eljárással a derékszögű háromszög kisebb hegyes szögét célszerű közelíteni.

II. Legyen

B

vetülete

O A

-n

F

, és az

O B F

derékszögű háromszögben

F O B ∢ = α

F B = a

O F = b

O B = c

, így

D A = 3 c

D F = 2 c + b

. Ekkor egyrészt a

D B F

és

D E A

háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} A E : D A = F B : D F, és így \\ A E = \frac{D A}{D F} \cdot F B = \frac{3 c a}{2 c + b} = c \cdot \frac{3 a}{2 c + b} c \cdot a', \end{matrix}

másrészt az

A B

ív hossza

O A \cdot α = c \cdot α

(

α

radiánban). Eszerint az

A E

szakasz ugyanazon mértékben közelíti az

A B

ívet, mint a képletünkből számított szögérték a háromszög szögét.

Dobó Ferenc (Budapest, I. István g. III. o. t.)

II. megoldás (a feladat II. részére). Legyen

B D O ∢ = φ

, ekkor

D B O ∢ = α - φ

és így a

B D O

háromszögből a szinusz-tétellel

\begin{matrix} sin φ : sin (α - φ) = O B : O D = 1 : 2. \end{matrix}

Innen az addíció-tétel felhasználásával

\begin{matrix} [sin (α - φ) =] sin α cos φ - cos α sin φ = 2 sin φ, \\ tg φ = \frac{sin φ}{cos φ} = \frac{sin α}{2 + cos α} = \frac{\frac{a}{c}}{2 + \frac{b}{c}} = \frac{a}{2 c + b}, \end{matrix}

végül

A E = D A tg φ = 3 c tg φ

-vel, ismét a fenti eredményre jutunk.

László Erika (Budapest, Varga K. lg. IV. o. t.)

Megjegyzések. I. A szóban forgó közelítő eljárásnak kényelmetlen eleme a radiánban való számolás. Radiánból fokra

180 / π

-vel való szorzással térhetünk át. Ha ebben

π = 3, 14159 ...

helyett az ismert (Archimedésztől származó)

22 / 7 = 3, 142 85 ...

értéket használjuk, akkor fokban mérve

\begin{matrix} a \approx \frac{180 \cdot 7}{22} \cdot \frac{3 a}{2 c + b} = \frac{630}{11} \cdot \frac{3 a}{2 c + b} = \frac{1890 a}{11 (2 c + b)} . \end{matrix}

22 / 7

érték kb.

0, 04 %

-kal nagyobb

π

-nél, ezért a

630 / 11

arányossági tényező kb.

0, 04 %

-kal kisebb a kelleténél. Eszerint az utóbbi képlet is alsó közelítést ad, és hibája valamivel nagyobb. Az adott számpéldákra az utóbbi képlet szerinti közelítő értéket (

45^{\circ}

-ig) a táblázat

a''

rovata tünteti fel.
2. Néhányan táblázat nélkül számították át fok-adataikat radiánra, éspedig a

π \approx 3, 14

közelítő érték alapján. Ebben csak

3

értékes jegy van, ennélfogva ugyanez áll minden vele végzett szorzásra, osztásra is. Így nem volt értelme a fok-eredményeket előzetesen

5

értékes jegyre kiszámítani (5 vagy többjegyű táblázatból).

¹Lásd az 1. megjegyzést