|
Feladat: |
1151. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ámon Magdolna , Bán Tamás , Baróti György , Benczúr András , Bodoky Andrea , Demendy Z. , Dobó Ferenc , Farkas M. , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Fejéregyházi Sándor , Ferenczi Éva , Fodor J. , Földeáki Mária , Földes I. , Gács I. , Gálfi László , Kádár L. , Kármán A. , Kunszt Zoltán , László Erika , Lehel J. , Magyar Erzsébet , Mihályi Zoltán , Nagy Dénes Lajos , Nagy Ernő , Nagy Géza , Nováky Béla , Opálény M. , Orbán Szilvia , Parragh Z. , Raisz Miklós , Renner G. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Somogyi K. , Sonnevend György , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Tamás E. , Varga L. , Vincze I. , Zalán Péter , Zalay M. |
Füzet: |
1962/december,
214 - 216. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Trigonometriai azonosságok, Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/január: 1151. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Az utolsó kivételével mindegyik példában egy-egy alatti, ill. fölötti hegyes szögre kapunk közelítést, az utolsó, egyenlő szárú háromszögből pedig -ra. Így a intervallum közepén és kb. egyenletesen elosztott helyén kapjuk meg a közelítés mértékét. Az alábbi táblázatban az befogóval szemben fekvő hegyes szögnek a függvénytáblázatból számított ,,pontos'' értékét, pedig ugyanennek az adott képlettel számított közelítő értékét jelenti. Az utóbbit tetszés szerinti pontosságig számíthatnók, -ban viszont a táblázat értékes jegynyi pontosságára vagyunk korlátozva, ezért -t is csak tizedesre számítjuk. A táblázat kerekítéseiből és az interpolációból eredő hibák kiegyenlítődésére számítva értéke gyanánt a -ból, -ból, -ból és -ból visszakeresett eredmények közepét vettük.
(Példáinkban mind a négy könnyen számítható,) majd a táblázat felhasználásával számítottuk át radiánra. A közelítés finomabb vagy durvább voltát kézenfekvő a'-nek a-tól való d=a'-a eltéréséből megítélni. Gyakorlati célra azonban jellemzőbb és használatosabb a d/a hányados, ill. a 100d/a ún. relatív (százalékos) hiba. Mint látjuk, d mindig negatív, a közelítő érték kisebb a valódinál, és d abszolút értéke a-val rohamosan növekszik, |d|/a már kisebb mértékben. 45∘-on aluli szögekre a relatív hiba 1/4%-nál kisebb, így a közelítés jónak, 20∘-on alul igen jónak mondható. Nyilvánvaló tehát, hogy ezzel az eljárással a derékszögű háromszög kisebb hegyes szögét célszerű közelíteni. II. Legyen B vetülete OA-n F, és az OBF derékszögű háromszögben FOB∢=α, FB=a, OF=b, OB=c, így DA=3c, DF=2c+b. Ekkor egyrészt a DBF és DEA háromszögek hasonlóságából AE:DA=FB:DF,és ígyAE=DADF⋅FB=3ca2c+b=c⋅3a2c+bc⋅a',
másrészt az AB ív hossza OA⋅α=c⋅α (α radiánban). Eszerint az AE szakasz ugyanazon mértékben közelíti az AB ívet, mint a képletünkből számított szögérték a háromszög szögét.
Dobó Ferenc (Budapest, I. István g. III. o. t.)
II. megoldás (a feladat II. részére). Legyen BDO∢=φ, ekkor DBO∢=α-φ és így a BDO háromszögből a szinusz-tétellel Innen az addíció-tétel felhasználásával [sin(α-φ)=]sinαcosφ-cosαsinφ=2sinφ,tgφ=sinφcosφ=sinα2+cosα=ac2+bc=a2c+b,
végül AE=DAtgφ=3ctgφ-vel, ismét a fenti eredményre jutunk.
László Erika (Budapest, Varga K. lg. IV. o. t.)
Megjegyzések. I. A szóban forgó közelítő eljárásnak kényelmetlen eleme a radiánban való számolás. Radiánból fokra 180/π-vel való szorzással térhetünk át. Ha ebben π=3,14159... helyett az ismert (Archimedésztől származó) 22/7=3,14285... értéket használjuk, akkor fokban mérve | a≈180⋅722⋅3a2c+b=63011⋅3a2c+b=1890a11(2c+b). | A 22/7 érték kb. 0,04%-kal nagyobb π-nél, ezért a 630/11 arányossági tényező kb. 0,04%-kal kisebb a kelleténél. Eszerint az utóbbi képlet is alsó közelítést ad, és hibája valamivel nagyobb. Az adott számpéldákra az utóbbi képlet szerinti közelítő értéket (45∘-ig) a táblázat a'' rovata tünteti fel. 2. Néhányan táblázat nélkül számították át fok-adataikat radiánra, éspedig a π≈3,14 közelítő érték alapján. Ebben csak 3 értékes jegy van, ennélfogva ugyanez áll minden vele végzett szorzásra, osztásra is. Így nem volt értelme a fok-eredményeket előzetesen 5 értékes jegyre kiszámítani (5 vagy többjegyű táblázatból).
Lásd az 1. megjegyzést |
|