|
Feladat: |
1150. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Aradi J. , Baróti György , Benczúr András , Bodoky Andrea , Demendy Z. , Farkas Zoltán , Földes Antónia , Földes Iván , Gálfi László , Gerencsér László , Gyárfás András , Horváth P. , Horváth Péter , Kármán A. , Kobzos L. , Kotsis D. , Kunszt Zoltán , László Erika , Lehel Jenő , Magyar Erzsébet , Nárai Gy. , Nováky Béla , Opálény M. , Pázmándi László , Rozváczy Judit , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Sonnevend György , Surányi András , Szabó László , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Szigeti F. , Tamás Endre , Vágvölgyi Györgyi , Varga L. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán Péter |
Füzet: |
1963/március,
109 - 113. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/január: 1150. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Szerkesztéssel az alábbiak szerint kaphatjuk a keresett pontot. Legyen az egyenes tetszés szerinti, -tól különböző pontja, ennek merőleges vetülete az egyenesen, továbbá a -ból -re és -ból -re állított merőleges egyenesek metszéspontja . Ekkor az egyenesnek -vel való metszéspontja.
1. ábra Jelöljük ugyanis vetületét -ra -gyel, vetületét -re -gyel. Ekkor és , s így és , továbbá és hasonló háromszögpárok. Ezekből | | Ebből viszont következik az és háromszögek hasonlósága, mert egy szögük közös és az ezt bezáró oldalak aránya egyenlő. Ennek folytán tehát . mindig létrejön és -tól különböző, mert a -ban -re állított merőleges nem megy át -n és nem párhuzamos a -ból -re állított merőlegessel. Másrészt az csúcs (és vele együtt a többi is) egyértelműen meg van határozva, mert ha egy háromszög megfelel a feladat feltételeinek, akkor egy középpontú hasonlósági transzformációval csúcsa átvihető -ba; ekkor azonban az egész háromszög az háromszögbe kell, hogy átmenjen, s így csak az egyenesen (és másrészt a oldalon) lehet. Ugyanígy szerkeszthetünk a egyenes egy pontjából kiindulva ‐ az és csúcsok szerepének felcserélésével ‐ egy háromszöget, melyből középpontú hasonlósági transzformációval kapható az háromszög, és ez is egyértelműen meg van határozva. Tükrözzük az háromszöget a köréje írt kör középpontjára nézve, és legyen a csúcsok képe rendre , , . Megmutatjuk, hogy ezek egybeesnek a , , pontokkal. a egyenesen van, mert rajta van -en, így a szög derékszög, tehát a egyenes azonos -vel. Ugyanígy a egyenesen, pedig -n van rajta.
2. ábra Az háromszög oldalai párhuzamosak az háromszög megfelelő oldalaival, tehát rendre merőlegesek az háromszög egy-egy oldalára (2. ábra): | | Eszerint a , , pontoknak rendre megvan az a tulajdonsága, amelyet , , -től kívánunk. Ámde láttuk, hogy , , a követelményekkel egyértelműen meg van határozva, tehát az háromszög azonos a háromszöggel és ‐ azonos körüljárással ‐ egybevágó annak az pontra vonatkozó tükörképével. Ezzel az állítást bebizonyítottuk, egyszersmind a feladatban kimondott egybevágóságban a csúcsok megfelelő párjait is megállapítottuk.
Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)
II. megoldás. Származtathatjuk az és az háromszöget is egy-egy olyan háromszög kicsinyítésével, amelynek -re merőleges oldala a magasság. Legyen a -n át -re és -on át -re merőlegesen húzott egyenesek metszéspontja , a -n át -re és -on át -re merőlegesen húzott egyeneseké pedig . Ekkor -et az egyenes metszi ki -ből, -t pedig a egyenes -ből. Ezekből a pontokból megrajzolva az , ill. háromszöget, ezek megfelelnek a feladat követelményeinek, és csak egy-egy ilyen háromszög létezik, amint azt az I. megoldásban beláttuk.
3. ábra Ez a két háromszög az egymással egybevágó , ill. háromszögből hasonlósági transzformációval keletkezett, a hasonlóság aránya , ill. . Így az és háromszög egybevágó volta következik abból, ha bebizonyítjuk e két arány egyenlőségét. Evégett megmutatjuk, hogy és hasonló háromszögek és , bennük egymásnak megfelelő egyenesek. Mivel az háromszög oldalai merőlegesek a háromszög megfelelő oldalaira, így a két háromszög hasonló, és ebből Az és háromszögekben tehát, melyek -nél derékszögűek, a befogók aránya megegyezik, s így a két háromszög hasonló. Az egyenesnek a befogóval és a egyenesnek a befogóval bezárt szöge egyaránt az szög eltérése -tól. is, is a megfelelő átfogó pontja, ha , és az átfogók -on, ill. -on túli meghosszabbítására esnek, ha . Így és a két hasonló derékszögű háromszögre nézve egymásnak megfelelő szakaszok, ennélfogva , és ezt akartuk bizonyítani.
Szidarovszky Ferenc (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
III. megoldás. Szerkesszünk meg egy háromszöget, mint az I. megoldásban, és legyen tükörképe középpontjára . Ekkor az háromszög oldalai rendre a , , oldalakra merőlegesek, ugyanúgy, mint azt a háromszög egymás utáni oldalaitól kívánja a feladat. Ha ezt a háromszöget még eltoljuk az egyenessel párhuzamosan úgy, hogy az oldalra kerüljön, akkor a keletkező háromszöget középpontú hasonlósági transzformáció viszi át -be, hasonlóan, mint az háromszöget -be.
4. ábra Azt kell még megmutatnunk, hogy a két esetben ugyanazt a hasonlósági transzformációt kell alkalmazni. Ez következik abból, ha megmutatjuk, hogy , mert a hasonlósági transzformáció minden egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz át, tehát az említett párhuzamosság esetén az -ot -be átvivő transzformáció -t is a egyenesen levő pontba viszi át. A kívánt párhuzamosság viszont következik abból, ha megmutatjuk, hogy , vagyis az és háromszögek hasonlók, mert és párhuzamos és egyenlő szakaszok, tehát paralelogramma. Az és háromszögek hasonlók, mert mindkettő derékszögű és -nál levő szögük közös, vagy az egyik a másiknak csúcsszöge (ha a szög tompaszög). Így . De és , mert az és a háromszög megfelelő oldalai egymásra merőlegesek, s így a háromszögek hasonlók. Azt kaptuk tehát, hogy az és háromszögekben, amelyeknek az -nál levő szögei egybeesnek vagy csúcsszögek, az ezt közrefogó, megfelelő oldalak aránya megegyezik. Így . Mint láttuk, ebből következik, hogy az háromszögbe lehet beírni két egybevágó háromszöget, melyeknek oldalai merőlegesek az előírt sorrendben az háromszög oldalaira. Mivel az előírásoknak megfelelő háromszögek egyértelműen meg vannak határozva ‐ lásd az I. megoldást ‐, így a feladat állítása bizonyítást nyert.
IV. megoldás. és helyzetét számítással is meghatározhatjuk a háromszög (szokás szerint jelölendő) oldalaiból és szögeiből. Legyen , a -ből felé mutató irányt véve pozitívnak. (A , , , , csúcsokat is az háromszög megfelelő két csúcsától mért távolságukkal határozzuk meg, pozitívnak mindig a szóban forgó oldal másik végpontja felé mutató irányt vesszük.) Ebből, a koszinuszokat természetesen előjellel értve (2. ábra): | | | | (felhasználtuk a összefüggést). Most már a követelmény figyelembevételével | | Hasonlóan -nal kifejezve rendre a , , , szakaszt, felhasználva a összefüggést, a követelményből Így és , ill. és , ill. velük az és háromszögek mindig egyértelműen meg vannak határozva, mert a nevező sohasem 0, ugyanis a koszinuszok szorzata abszolút értékben kisebb 1-nél. A kérdéses egybevágóság most már következik abból, ha megmutatjuk, hogy a és háromszögekben ‐ melyeknek szögei rendre egyenlőek az háromszög szögeivel, és így hasonlók egymáshoz ‐, egy pár megfelelő oldal egyenlő. Az első háromszögnek az szöggel szemben fekvő oldala a szinusz tétel felhasználásával | | Hasonlóan | | A második háromszögben a szinusz tétel alapján | | és így ami állításunkat igazolja.
Gálfi László (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
|
|