Kezdőlap


Feladat:	1149. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán József , Baróti György , Bellay Ágnes , Benczúr András , Berecz Ágota , Demendy Z. , Farkas Zoltán , Fejéregyházi Sándor , Gálfi László , Jójárt I. , Kunszt Z. , Kunszt Zoltán , Lánc József , Lehel J. , Máté Attila , Máté Eörs , Nagy Dénes Lajos , Nagy Ernő , Nováky Béla , Opálény M. , Pázmándi L. , Renner G. , Reuss P. , Sebestyén Zoltán , Seprődi László , Simonovits Miklós , Simonyi Ernő , Sonnevend György , Szekeres Veronika , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Varga L. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán F. Á. , Zalán Péter , Zalay M.
Füzet:	1962/november, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 1149. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

¹
$\sqrt[]{2} = 1, 414 213 ...$ és $\sqrt[]{51} = 7, 141 428 ...$ , tehát az állítás igaz. Eszerint fennáll a következő közelítő egyenlőség:

\begin{matrix} \sqrt[]{51} \approx 7 + \frac{\sqrt[]{2}}{10}, \end{matrix}

(1)

amiből négyzetre emeléssel és rendezéssel

\begin{matrix} \sqrt[]{2} \approx \frac{99}{70} = 1, 41 428 ..., \end{matrix}

(2)

Ez ugyancsak 5 értékes jegyben egyezik meg

\sqrt[]{2}

-vel.

A 945. feladat² az

x_{1} = 2

y_{1} = 3

, és

k = 1, 2, 3, ...

esetén

x_{k + 1} = 3 x_{k} + 2 y_{k}

y_{k + 1} = 4 x_{k} + 3 y_{k}

képletekkel adott sorozatokból adódó

y_{k} / x_{k}

törteket adta meg mint

\sqrt[]{2}

közelítő értékeit. Ezekben a sorozatokban a harmadik tag

x_{3} = 70

y_{3} = 99

Simonyi Ernő (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Vajon az említett sorozatpárból lehet-e kapni az 51-en felül további olyan

a

számokat, melyeknek négyzetgyökében az első valahány tizedes jegy megegyezik

\sqrt[]{2}

tizedestört alakjának egymás utáni jegyeivel, vagyis amelyre

\begin{matrix} \sqrt[]{a} \approx b + \frac{\sqrt[]{2}}{10}, és ebből \sqrt[]{2} \approx \frac{50 (a - b^{2}) - 1}{10 b} ? \end{matrix}

(3)

\sqrt[]{2}

-re adódó közelítő érték nevezője tehát 0-ra, számlálója pedig 49-re vagy 99-re végződik. Ilyen

x_{k}

y_{k}

párokat akarunk tehát keresni. Könnyítést jelentenek 0-ra végződő nevező keresésében az 1062. feladatban³ nyert

\begin{matrix} x_{k} = 6 x_{k - 1} - x_{k - 2} = 34 x_{k - 2} - x_{k - 4} = 198 x_{k - 3} - x_{k - 6} \end{matrix}

kifejezések, amelyekkel az

y

-sorozat tagjainak kiszámítása nélkül juthatunk előre. Egyelőre elég a tagok utolsó jegyét vizsgálni.

x_{1} = 2

x_{2} = 12

és

x_{3} = 70

-ből

x_{4}

utolsó szemjegye 8-as, ugyanígy

x_{5}

-é is, majd

x_{6}

-é ismét 0. A fenti 3-ik kifejezéssel ‐ és az 1061. feladatban nyert

x_{0} = 0

-val

x_{6} = 198 \cdot 70 - 0 = 13 860

. Egyszersmind látjuk, hogy az

x

sorozat minden harmadik tagja 0-ra végződik, köztük pedig váltakozva két‐két 2-re, ill. 8-ra végződő tag áll. Az 1062. feladat további képleteivel

y_{6} = 19 601

, ez nem felel meg (3)-ban a számlálónak. Könnyű belátni azonban⁴

y_{k} = 198 y_{k - 3} - y_{k - 6}

, és

y_{0} = 1

y_{3} = 99

-ből, hogy az

y_{3 k}

tagok váltakozva 1-re és 9-re végződnek, tehát

y_{9}

egyjegyű végződése megfelelő. Valóban,

y_{9} = 198 \cdot 19 601 - 99 = 3 880 899 = 50 \cdot 77 618 - 1

, és mivel

x_{9} = 198 \cdot 13 860 - 70 = 2 744 210 = 10 b

-ből

b = 274 421

, azért

50 (a - b^{2}) - 1 = y_{9}

-ből

a = b^{2} + 1 (1 + y_{9}) / 50 = 75 306 962 859

egy a kívánt tulajdonsággal bíró szám. Ezzel

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = 274 421, {\underset{︸}{141 421 356 237 3}}_{}^{} 140 ..., \end{matrix}

és itt a tizedes vessző után

\sqrt[]{2}

-nek 13 helyes jegye áll.

¹Lásd K. M. L. 23 (1961/9) 62. o.

²K. M. L. 19 (1959/10) 56. o.

³K. M. L. 23 (1961/10) 64. o.

⁴K. M. L. 23 (1961/10) 64. o.