Feladat: 1147. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Loparits Pál 
Füzet: 1962/november, 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Feladat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/január: 1147. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első lépésül az x-1-gyel való oszthatóság feltételét állapítjuk meg. Polinomunk így is írható:

f(x)=(Axn+2-A)+(Bxn+1-B)+(x-1)+(A+B).
Itt az első három kéttagú kifejezés osztható x-1-gyel, mert
A(xn+2-1)=A(x-1)(xn+1+xn+xn-1+...+x+1),(1)B(xn+1-1)=B(x-1)(xn+xn-1+...+x+1),(2)


ennélfogva f(x) akkor és csak akkor lesz x-1-nek és egy további polinomnak a szorzata, ha a maradék ‐ ti. a negyedik kéttagú ‐ eltűnik:
A+B=0,azazB=-A.
Ekkor f(x)-nek (x-1)-gyel való osztásánál a hányados (1) és (2) alapján
A(xn+1+xn+...+x+1)+B(xn+xn-1+...+x+1)+1==A(xn+1+xn+...+x+1)-A(xn+xn-1+...+x+1)+1=Axn+1+1.



f(x) akkor és csak akkor osztható (x-1) négyzetével is, ha ez a hányados is osztható x-1-gyel. Ámde
Axn+1+1=(Axn+1-A)+(A+1)=A(x-1)(xn+xn-1+...+x+1)1++(A+1),


és így az oszthatóság feltétele a fent kimondott elvet ismét alkalmazva
A+1=0,azazA=-1,ésB=1.

Ezek szerint a polinom kívánt alakja:
xn+2+xn+1+x-1.

 Loparits Pál (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.)
 
Megjegyzés. Az A+B=0 feltételhez egyszerűbben is eljuthatunk. Ha a feladat feltétele teljesül, akkor f(1)=0. De f(1)=A+B+1-1=A+B, azaz A+B=0, B=-A.