Kezdőlap


Feladat:	1143. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Tamás , Bellay Ágnes , Benczúr András , Csűrös M. , Fajszi Cs. , Farkas Zoltán , Fejéregyházi S. , Földes Antónia , Gálfi László , Garai G. , Horváth K. , Huber T. , Jójárt I. (Szolnok) , Kunszt Z. , Lánc J. , Lehel József , Máté E. , Négyessy M. , Nováky Béla , Oberländer V. , Opálény M. , Pór A. , Raisz M. , Reuss P. , Sebestyén Z. , Seprődi László , Simonovits Miklós , Sonnevend György , Surányi A. , Szentai Judit , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Szigeti Ferenc , Szirai József , Timár Gy. , Vágvölgyi Györgyi , Varga L. , Vesztergombi György , Vilimi J. , Vincze I. , Zalán Péter
Füzet:	1962/október, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 1143. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idézett számhármas-párokban az 1, ill. 2 kitevőjű hatvány-összegek egyenlők, ugyanis I-ben: $38 + 108 + 268 = 8 + 168 + 238 = 414$ , ill. $38^{2} + 108^{2} + 268^{2} = 8^{2} + 168^{2} + 238^{2} = 84 932$ , hasonlóan II-ben: $90 621$ , ill. $4 549 468 547$ , III-ban: 909, ill. $414 041$ , végül IV-ben: 520, ill. $149 432$ az összegek értéke. Eszerint az 1065. feladat tétele érvényes mind a négy számhármas-párra. (A 3-as kitevőjű hatványösszegek különbözőségének ellenőrzését mellőzhetjük, mert a feladat megoldását áttekintve látjuk, hogy a 3 kitevőjű hatványösszegek különbözőségét csak annak bizonyításában használtuk fel, hogy (1) az $m = 4$ érték mellett nem teljesül. Itt viszont nincs szó a 4 kitevőjű hatványösszegekről.) Eszerint bármely $k$ -val teljesül $m = 1, 2, 3$ mellett pl. a

\begin{matrix} 38^{m} + 108^{m} + 268^{m} + {(8 + k)}^{m} + {(168 + k)}^{m} + {(238 + k)}^{m} = I^{*} \\ = & 8^{m} + 168^{m} + 238^{m} + {(38 + k)}^{m} + {(108 + k)}^{m} + {(268 + k)}^{m} \end{matrix}

egyenlőség. ‐ A 6-tagú számcsoportoknak 4-tagúakká való egyszerűsödése nem jöhet létre 0-értékű tagok miatt, mert

I^{*}

tagjaiban a

k

szám csupa különböző szám mellett lép fel, így pedig legfeljebb egy tagot tehetünk 0-vá

k

alkalmas választásával. Az egyszerűsödés tehát csak úgy állhat be, ha alkalmas

k

-val

I^{*}

két oldalán két-két egyenlő alap lép fel, és ezek a tagok

m

minden értéke mellett kiesnek. Azt kell tehát bebizonyítanunk, hogy van ilyen

k

. Az egyenlő alapok egyikének (1)-ben tartalmaznia kell

k

-t, a másiknak viszont ,,

k

-mentes''-nek kell lennie, ugyanis mind a

k

-mentes tagok, mind a

k

-t tartalmazó tagok egymás között különbözők. Nem lehet szó továbbá pl. a 38 és

38 + k

alapok egyenlőségéről sem, mert evvel

k = 0

, és

I^{*}

-ból minden tag kiesik. Ezek szerint a bal oldal mindegyik tagja a jobb oldal 2 tagjával lehet egyenlő, pl.
38=108+k, vagy 38=268+k, amiből
k=-70, ill. k=-230.
Ha mind a

6 \cdot 2 = 12

ilyen egyenletből a megfelelő

k

-t kiszámítva valamely

k

-értéket legalább 2-szer kapunk meg, éspedig

I^{*}

-nak két-két különböző tagjából, akkor ezzel a

k

értékkel

I^{*}

két oldalán valóban csak 4‐4 különböző tag marad vissza. Mármost

108=38+k-ból  k= 70, 108=268+k-ból   k=-160;
268=38+k   ,,  k=230, 268=108+k  ,,   k=160;
8+k=168    ,,  k=160, 8+k=238     ,,   k=230;
168+k=8    ,,  k=-160, 168+k=238  ,,   k=70;
238+k=8    ,,  k=-230, 238+k=168  ,,   k=-70.

Ezek szerint

I^{*}

k = \pm 70

\pm 160

és

\pm 230

számok mindegyikével 4‐4 tagúra egyszerűsödik, pl.

k = - 230

-cal kiesnek 38 és

268 + k

, valamint

238 + k

és 8, a maradó

\begin{matrix} 108^{m} + 268^{m} + {(- 222)}^{m} + {(- 62)}^{m} és 168^{m} + 238^{m} + {(- 192)}^{m} + {(- 122)}^{m} \end{matrix}

kifejezések értéke pedig

m = 1

mellett 92,

m = 2

mellett

136 616

és

m = 3

mellett 9 329 168.
Általában, az I. és II. számhármas-párok közös

a_{1}

=q+r,

a_{2}

=p+r,

a_{3}

=2p+2q+r;

b_{1}

=r,

b_{2}

=p+2q+r,

b_{3}

=2p+q+r
képletéből¹ a tétel alkalmazásávál előálló

\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1} + k, b_{2} + k, b_{3} + k; \end{matrix}

(2)

számhatos-párban

a_{1}

a_{2}

+k, és

b_{2}

b_{3}

+k, ha k=-p+q;

a_{1}

a_{3}

+k, és

b_{1}

b_{3}

+k, ha k=-2p-q;

a_{2}

a_{1}

+k, és

b_{3}

b_{2}

+k, ha k= p-q;(3)

a_{2}

a_{3}

+k, és

b_{1}

b_{2}

+k, ha k= -p-2q;

a_{3}

a_{1}

+k, és

b_{3}

b_{1}

+k, ha k=2p+q; végül

a_{3}

a_{2}

+k, és

b_{2}

b_{1}

+k, ha k=p+2q.
Innen a paraméterek

p = 30 000

q = 200

r = 7

értékrendszerével adódó II számhármas-párra is 6 megfelelő értéket kapunk:

\begin{matrix} k = \pm 29 800, \pm 30 400, \pm 60 200. \end{matrix}

A III és IV számcsoportok esetében a fentiek szerinti 12 egyenlőség mindegyikéből más-más

k

-érték adódik, abszolút értékben nagyság szerint rendezve a következők:
III-ból:

\pm

95,

\pm

104,

\pm

395,

\pm

401,

\pm

496,

\pm

499;
IV-ből:

\pm

136,

\pm

158,

\pm

186,

\pm

206,

\pm

342,

\pm

344.
Ezekkel a 6-tagú csoportokból csak 1‐1 tag esik ki, tehát a csoportok valóban csak 5-tagúra egyszerűsödhetnek.

Seprődi László (Budapest, Fáy A. g. IV. o.)

¹Lásd az 1048. feladat fentebb idézett megoldását.