|
Feladat: |
1142. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Abos I. , Bán T. , Baróti Gy. , Bokody andrea , Csűrös M. , Dobó F. , Farkas Zoltán , Fekete Tamás , Földeáki Mária , Földes I. , Gálfi László , Gyárfás A. , Horváth Péter (Bp. Kossuth L. gépip. t.) , Jójárt I. , Katona Éva (Szolnok) , Kunszt Z. , Lánc J. , Lazányi I. , Lehel J. , Mihályi Zoltán , Nagy Ernő , Nagy Géza , Nováky Béla , Orbán Szilvia , Parragh Z. , Pór András , Raisz M. , Reuss P. , Schönweitz T. , Sebestyén Z. , Seprődi László , Simonovits Miklós , Sonnevend György , Szabó László , Szabó Tamás , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky Ferenc , Szirai J. , Tamás Endre , Vesztergombi György , Zalán Péter , Zalay M. |
Füzet: |
1962/október,
71 - 72. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Parabola egyenlete, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/december: 1142. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Oldjuk meg (1)-et -ra. Átrendezve, majd az oldóképlettel:
Eszerint negatív mellett nem lenne valós, másrészt egy (valós) kifejezés négyzete, tehát nem negatív. ‐ (1) nem változik meg, ha -et és -t felcseréljük, ezért megállapításaink a (2)-nek megfelelő eredményből is kiolvashatók, fordított sorrendben. b) Az követelmény (2) első kifejezése szerint csak úgy teljesülhet, ha előtt mínusz jel áll: Így pozitív négyzetgyöke ahol a előjelpárt ezúttal természetesen úgy értjük, hogy vagy , vagy ; hogy melyik érvényes, azt és 1 nagyságviszonya alapján kell eldönteni. Most folytán csak a jel lehet érvényes, ezért , tehát , az állításnak megfelelően. c) (2) szerint figyelembevételével az követelmény is csak () mellett teljesülhet, (4) viszont és folytán csak a zárójel előtti mínusz jellel, így . Innen az állítás átrendezéssel adódik. Az a) tény azt jelenti, hogy a derékszögű koordinátarendszerben az (1)-et kielégítő , értékpároknak megfelelő pontok halmaza (mint alább megmutatjuk, egy vonal, éspedig parabola) az I. síknegyedben helyezkedik el. Az I. negyedhez tartozónak tekintjük határát, a két tengely pozitív félegyenesét is, ugyanis (2)-ből mellett és (3)-ból mellett , vagyis vonalunk egy-egy pontja e féltengelyeken van. és -nak (1)-beli felcserélhetősége azt jelenti, hogy az , értékpároknak megfelelő pontok halmaza az egyenesre, az I. negyed szögfelezőjére nézve tükrös. Kézenfekvő a vonal egyenletét olyan derékszögű koordinátarendszerben felírni, melynek egyik (első) tengelye ez a felező, origója pedig azonos az eddigi origóval. Ekkor, mint ismeretes, a régi koordináták helyére az új , koordináták kifejezései lépnek. Ezekkel , , tehát (1) helyére lép. Ez parabola egyenlete, csúcspontja az ‐ a régi rendszerben (1/4, 1/4) ‐ pont, paraméterének fele , és így fókusza az pont, irányvonala pedig a egyenes, az új ordinátatengely (a régi rendszerben az (1/2, 1/2) pont, ill. az egyenes). A b) feltételek azt jelentik, hogy az eredeti koordinátarendszerben az I. síknegyednek csak a szögfelező és az -tengely közti szögtartományát tekintjük és ebből is elhagyjuk az abszcisszájú, az egyenesen levő és attól az origó felé eső pontokat (az ábra síkrésze). Hasonlóan a c) feltételek csak az ábra egységnyi oldalú négyzetének pontjait veszik figyelembe. Az új határvonal pontjai egyik esetben sem tartoznak hozzá a síkrészhez. Mármost a b) alatti összefüggés a parabola síkrészbeli ívének egyenlete, a c) alatti pedig az négyzetbe eső ívnek az egyenlete. Hasonlóan az síkrészbeli ív egyenlete . Fekete Tamás (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. A számviszonyokra vonatkozó eredményeket abból is megkaphatjuk, hogy (1) mindkét oldalához -et (ill. -t) adva felismerjük, hogy a bal oldal teljes négyzet, tehát nem negatív:
majd 0-ra redukálással és szorzattá alakítással (az elsőből):
-en, -on mindig a négyzetgyök abszolút értékét értve. Ez csak úgy teljesülhet, ha legalább egyik tényező 0. Az első zárójelbeli kifejezés csak úgy lehet 0, ha mind a , mind a tag elhagyásával visszamaradó rész nem negatív, ill. pozitív:
(az esettől eltekintve a b) eset). Hasonlóan a második zárójel csak , mellett lehet 0 (vagyis az egyenlőségtől eltekintve a c) esetben), a harmadik zárójel ()-szerese csak , mellett, a negyedik zárójel pedig sehol, mert két tagja nem negatív és van pozitív tagja. Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. IV. o. t.)
Lásd pl. Matematika, gimn. III. o. tankönyv, Hiperbola más helyzetben c. fejezet. |
|