Feladat: 1142. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Abos I. ,  Bán T. ,  Baróti Gy. ,  Bokody andrea ,  Csűrös M. ,  Dobó F. ,  Farkas Zoltán ,  Fekete Tamás ,  Földeáki Mária ,  Földes I. ,  Gálfi László ,  Gyárfás A. ,  Horváth Péter (Bp. Kossuth L. gépip. t.) ,  Jójárt I. ,  Katona Éva (Szolnok) ,  Kunszt Z. ,  Lánc J. ,  Lazányi I. ,  Lehel J. ,  Mihályi Zoltán ,  Nagy Ernő ,  Nagy Géza ,  Nováky Béla ,  Orbán Szilvia ,  Parragh Z. ,  Pór András ,  Raisz M. ,  Reuss P. ,  Schönweitz T. ,  Sebestyén Z. ,  Seprődi László ,  Simonovits Miklós ,  Sonnevend György ,  Szabó László ,  Szabó Tamás ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szidarovszky Ferenc ,  Szirai J. ,  Tamás Endre ,  Vesztergombi György ,  Zalán Péter ,  Zalay M. 
Füzet: 1962/október, 71 - 72. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Parabola egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/december: 1142. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Oldjuk meg (1)-et y-ra. Átrendezve, majd az oldóképlettel:

y2-2(x+1)y+(x-1)2=0,y=x+1±2x=(x±1)2.(2)


Eszerint negatív x mellett y nem lenne valós, másrészt y egy (valós) kifejezés négyzete, tehát nem negatív. ‐ (1) nem változik meg, ha x-et és y-t felcseréljük, ezért megállapításaink a (2)-nek megfelelő
x=y+1±2y=(y±1)2(3)
eredményből is kiolvashatók, fordított sorrendben.
b) Az y<x követelmény (2) első kifejezése szerint csak úgy teljesülhet, ha 2x előtt mínusz jel áll:
y=x+1-2x=(x-1)2.(2')
Így y pozitív négyzetgyöke
y=±(x-1),(4)
ahol a ± előjelpárt ezúttal természetesen úgy értjük, hogy vagy +, vagy -; hogy melyik érvényes, azt x és 1 nagyságviszonya alapján kell eldönteni. Most x>1 folytán csak a + jel lehet érvényes, ezért y=x-1, tehát x-y=1, az állításnak megfelelően.
 
 

c) (2) szerint x0 figyelembevételével az y<1 követelmény is csak (2') mellett teljesülhet, (4) viszont x<1 és x<1 folytán csak a zárójel előtti mínusz jellel, így y=-(x-1)=1-x. Innen az állítás átrendezéssel adódik.
Az a) tény azt jelenti, hogy a derékszögű koordinátarendszerben az (1)-et kielégítő x, y értékpároknak megfelelő pontok halmaza (mint alább megmutatjuk, egy vonal, éspedig parabola) az I. síknegyedben helyezkedik el. Az I. negyedhez tartozónak tekintjük határát, a két tengely pozitív félegyenesét is, ugyanis (2)-ből x=0 mellett y=1 és (3)-ból y=0 mellett x=1, vagyis vonalunk egy-egy pontja e féltengelyeken van.
x és y-nak (1)-beli felcserélhetősége azt jelenti, hogy az x, y értékpároknak megfelelő pontok halmaza az y=x egyenesre, az I. negyed szögfelezőjére nézve tükrös. Kézenfekvő a vonal egyenletét olyan derékszögű koordinátarendszerben felírni, melynek egyik (első) tengelye ez a felező, origója pedig azonos az eddigi origóval. Ekkor, mint ismeretes,1 a régi koordináták helyére az új ξ, η koordináták
x=ξ-η2y=ξ+η2
kifejezései lépnek. Ezekkel x-y=-2η, x+y=2ξ, tehát (1) helyére
2η2=22ξ-1,η2=2(ξ-122)
lép. Ez parabola egyenlete, csúcspontja az (1/22,0) ‐ a régi rendszerben (1/4, 1/4) ‐ pont, paraméterének fele p/2=2/4=1/22, és így fókusza az (1/2,0) pont, irányvonala pedig a ξ=0 egyenes, az új ordinátatengely (a régi rendszerben az (1/2, 1/2) pont, ill. az y=-x egyenes).
A b) feltételek azt jelentik, hogy az eredeti koordinátarendszerben az I. síknegyednek csak a szögfelező és az X-tengely közti szögtartományát tekintjük és ebből is elhagyjuk az x1 abszcisszájú, az x=1 egyenesen levő és attól az origó felé eső pontokat (az ábra Ib síkrésze).
Hasonlóan a c) feltételek csak az ábra Ic egységnyi oldalú négyzetének pontjait veszik figyelembe. Az új határvonal pontjai egyik esetben sem tartoznak hozzá a síkrészhez.
Mármost a b) alatti x-y=1 összefüggés a parabola Ib síkrészbeli ívének egyenlete, a c) alatti x+y=1 pedig az Ic négyzetbe eső ívnek az egyenlete. Hasonlóan az Id síkrészbeli ív egyenlete y-x=1.
 Fekete Tamás (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A számviszonyokra vonatkozó eredményeket abból is megkaphatjuk, hogy (1) mindkét oldalához 4x-et (ill. 4y-t) adva felismerjük, hogy a bal oldal teljes négyzet, tehát nem negatív:
(x-y)2+2(x-y)+1=(x-y+1)2=4x,(x-y)2-2(x-y)+1=(x-y-1)2=4y,


majd 0-ra redukálással és szorzattá alakítással (az elsőből):
(x-y+1)2-(2x)2=(x-2x+1-y)(x+2x+1-y)=0,[(x-1)2-y][(x+1)2-y]=0,(x-1-y)(x-1+y)(x+1-y)(x+1+y)=0,


x-en, y-on mindig a négyzetgyök abszolút értékét értve. Ez csak úgy teljesülhet, ha legalább egyik tényező 0. Az első zárójelbeli kifejezés csak úgy lehet 0, ha mind a -y, mind a -1 tag elhagyásával visszamaradó rész nem negatív, ill. pozitív:
x-10,ill.hax-y>0,amibőlx1,ill.x>y
(az x=1 esettől eltekintve a b) eset).
Hasonlóan a második zárójel csak x1, y1 mellett lehet 0 (vagyis az egyenlőségtől eltekintve a c) esetben), a harmadik zárójel (-1)-szerese csak y>x, y1 mellett, a negyedik zárójel pedig sehol, mert két tagja nem negatív és van pozitív tagja.
 
 Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. IV. o. t.)

1Lásd pl. Matematika, gimn. III. o. tankönyv, Hiperbola más helyzetben c. fejezet.