Kezdőlap


Feladat:	1140. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Györi István
Füzet:	1962/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 1140. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy mértani sorozat elemeit egy közös alap hatványaiként írva a kitevők számtani sorozatot alkotnak. Esetünkben közös alapnak 10 kínálkozik. Így a sorozat elemei:

\begin{matrix} 10^{lg x}, 10^{{(lg x)}^{2}}, 10^{{(lg y)}^{2}}, 10^{{(lg x y)}^{2}} . \end{matrix}

A szomszédos tagok kitevőinek a különbsége egyenlő:

\begin{matrix} {(lg x)}^{2} - lg x = {(lg y)}^{2} - {(lg x)}^{2} = {(lg x y)}^{2} - {(lg y)}^{2} . \end{matrix}

(1)

Az első és utolsó különbség egyenlőségéből

\begin{matrix} (lg x - 1) lg x = (lg x y - lg y) (lg x y + lg y) = (lg x) \cdot (lg x + 2 lg y) . \end{matrix}

A jobb oldalból levonva a balt, nyerjük, hogy

\begin{matrix} (lg x) (1 + 2 lg y) = 0, \end{matrix}

tehát vagy

lg x = 0

, vagy

lg y = - 1 / 2

.
I. Az első esetben az (1) alatti első két különbség egyenlőségéből

\begin{matrix} {(lg y)}^{2} = 0, lg y = 0. \end{matrix}

Ekkor

x = y = 1

, és valóban a négy szám mindegyike 1.
II. Ha

lg y = - 1 / 2

, akkor ismét az (1) alatti első két különbség egyenlőségéből

\begin{matrix} 2 {(lg x)}^{2} - lg x & - \frac{1}{4} = 0, \\ lg x = \frac{1 \pm \sqrt[]{1 + 2}}{4} & = {\begin{matrix} \frac{1 + \sqrt[]{3}}{4}, \\ - \frac{\sqrt[]{3} - 1}{4} . \end{matrix} \end{matrix}

A 2., 3. és 4. tag kitevőire adódó két-két érték sorra

\begin{matrix} {(lg x_{1})}^{2} = \frac{2 + \sqrt[]{3}}{8}, \\ {(lg y)}^{2} = \frac{1}{4}, {(lg x_{1} y)}^{2} = {(\frac{1 + \sqrt[]{3}}{4} - \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{\sqrt[]{3} - 1}{4})}^{2} = \frac{2 - \sqrt[]{3}}{8}; \\ {(lg x_{2})}^{2} = \frac{2 - \sqrt[]{3}}{8}, \\ {(lg x_{2} y)}^{2} = {(- \frac{\sqrt[]{3} - 1}{4} - \frac{1}{2})}^{2} = {(- \frac{\sqrt[]{3} + 1}{4})}^{2} = \frac{2 + \sqrt[]{3}}{8} . \end{matrix}

Innen

x

-et és

y

-t kiszámítva

\begin{matrix} x_{1} = 10^{\frac{1 + \sqrt[]{3}}{4}} \approx 10^{0, 6830} \approx 4, 820; x_{2} = \frac{1}{10^{\frac{\sqrt[]{3} - 1}{4}}} \approx 10^{0, 8170 - 1} \approx 0, 6561; \\ y = \frac{1}{\sqrt[]{10}} \approx 0, 3162. \end{matrix}

A sorozat 4 elemére a következő értékek adódtak:

\begin{matrix} 10^{lg x} & 10^{{(lg x)}^{2}} & 10^{{(lg y)}^{2}} & 10^{{(lg x y)}^{2}} \\ I & 1 & 1 & 1 & 1 \\ {II}_{1} & 4, 820 & 10^{\frac{2 + \sqrt[]{3}}{8}} \approx 2, 927 & 10^{\frac{1}{4}} \approx 1, 778 & 10^{\frac{2 - \sqrt[]{3}}{8}} \approx 1, 080 \\ {II}_{2} & 0, 6561 & 10^{\frac{2 - \sqrt[]{3}}{8}} \approx 1, 080 & 10^{\frac{1}{4}} \approx 1, 778 & 10^{\frac{2 + \sqrt[]{3}}{8}} \approx 2, 927 \end{matrix}

Győri István (Székesfehérvár, Ságvári E. gépip. t. III. o. t.)