Kezdőlap


Feladat:	1137. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bod Katalin , Simenszky Csilla
Füzet:	1962/október, 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 1137. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szokásos jelöléseket használjuk. Legyen továbbá a $C$ csúcs vetülete az $A B$ egyenesre $C_{1}$ , tehát a keresett magasság: $m_{c} = C C_{1}$ . Feltehetjük, hogy $α \leq β$ , így $α$ biztosan hegyes szög. Az $A C C_{1}$ derékszögű háromszögből

\begin{matrix} m_{c} = A C sin α = b sin α . \end{matrix}

Másrészt a szinusz-tételt az itt használt

b

és az adott

c

oldalra alkalmazva

\begin{matrix} b = c \frac{sin β}{sin γ}, és így (1) m_{c} = \frac{c sin α sin β}{sin γ} . \end{matrix}

Bod Katalin (Miskolc, Herman O. lg. III. o. t.)

II. megoldás. Ha

α \leq β < 90^{\circ}

, akkor

C_{1}

A B

oldalszakasz belsejében fekszik, tehát

A B = A C_{1} + C_{1} B

. Az

A C C_{1}

és

B C C_{1}

derékszögű háromszögekből

A C_{1} = C C_{1} ctg α = m_{c} ctg α

, ill.

B C_{1} = m_{c} ctg β

, és ezeket az előbbi egyenlőségbe helyettesítve, majd azt

m_{c}

-re megoldva

\begin{matrix} m_{c} = \frac{c}{ctg α + ctg β} . \end{matrix}

(2)

Ha pedig

β > 90^{\circ}

, akkor

C_{1}

A B

oldalszakasz

B

-n túli meghosszabbításán van,

A B = A C_{1} - B C_{1}

és a

B C C_{1}

derékszögű háromszög

B

-nél levő

β'

szögére fennáll

β' = 180 - β

. Így

B C_{1} = m_{c} ctg β' = m_{c} ctg (180^{\circ} - β) = - m_{c} ctg β

. Ezt az előbbi egyenlőségbe helyettesítve ismét (2)-t kapjuk. Végül

β = 90^{\circ}

esetén egyrészt

C_{1} \equiv B

A B = A C_{1}

, másrészt

ctg β = 0

, eszerint (2) ekkor is érvényes.

Simenszky Csilla (Makó, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A (2) kifejezés átalakítható (1)-be:

\begin{matrix} m_{c} = \frac{c}{\frac{cos α}{sin α} + \frac{cos β}{sin β}} = \frac{c sin α sin β}{sin (α + β)} = \frac{c sin α sin β}{sin γ} . \end{matrix}