Kezdőlap


Feladat:	1134. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biró Ilona , Fekete Tamás
Füzet:	1962/szeptember, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Polinomok szorzattá alakítása, Polinomok négyzetösszege, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 1134. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képezzük (1) jobb és bal oldalának $D$ különbségét. Ezt úgy írhatjuk, mint két négyzetekből álló különbség különbségét, ezeket pedig szorzattá alakítjuk:

\begin{matrix} D = & [{(x^{2 n + 1} - 2 x^{2 n - 1} y^{2} + 2 x^{2 n - 3} y^{4} - ... \pm 2 x y^{2 n})}^{2} - {(x^{2 n + 1})}^{2}] - \\ - & [{(y^{2 n + 1})}^{2} - {(y^{2 n + 1} - 2 y^{2 n - 1} x^{2} + 2 y^{2 n - 3} x^{4} - ... \pm 2 y x^{2 n})}^{2}] = \\ = & (2 x^{2 n + 1} - 2 x^{2 n - 1} y^{2} + 2 x^{2 n - 3} y^{4} - ... \pm 2 x y^{2 n}) (- 2 x^{2 n - 1} y^{2} + \\ + & 2 x^{2 n - 3} y^{4} - ... \pm 2 x y^{2 n}) - (2 y^{2 n + 1} - 2 y^{2 n - 1} x^{2} + 2 y^{2 n - 3} x^{4} - \\ - & ... \pm 2 y x^{2 n}) (2 y^{2 n - 1} x^{2} - 2 y^{2 n - 3} x^{4} + ... \mp 2 y x^{2 n}) . \end{matrix}

A közös

2 x

2 x y^{2}

, ill.

2 y

2 y x^{2}

tényezők kiemelése után

\begin{matrix} D = & 4 x^{2} y^{2} (x^{2 n} - x^{2 n - 2} y^{2} + x^{2 n - 4} y^{4} - ... \pm y^{2 n}) (- x^{2 n - 2} + x^{2 n - 4} y^{2} - \\ - & ... \pm y^{2 n - 2}) - 4 x^{2} y^{2} (y^{2 n} - y^{2 n - 2} x^{2} + y^{2 n - 4} x^{4} - ... \pm \\ \pm & x^{2 n}) (y^{2 n - 2} - y^{2 n - 4} x^{2} + ... \mp x^{2 n - 2}) . \end{matrix}

Páros

n

esetén a zárójeles kifejezések utolsó tagjában mindenütt a felső előjel érvényes, ezért a két szorzat megfelelő tényezői csak a tagok sorrendjében különböznek, tehát

D = 0

. Ugyanezt kapjuk páratlan

n

esetén is, amikor az utolsó tagokban az alsó előjel érvényes, ugyanis ekkor

D

kivonandójának többtagú tényezői az első tag megfelelő tényezőjéből (

- 1

)-gyel való szorzással állnak elő, és ezért

D

kivonandója a kisebbítendőnek

{(- 1)}^{2} = 1

-szerese.
Eszerint minden

n

természetes szám mellett

D = 0

, tehát (1) érvényes.

Fekete Tamás (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.)

II. megoldás. Ha

x \neq 0

, akkor az (1) bal oldalán álló első polinom tagjai, az első tagot nem tekintve, olyan

n

tagú mértani sorozatot alkotnak, melynek kezdő tagja

- 2 x^{2 n - 1} y^{2}

, és hányadosa

- y^{2} / x^{2}

. A hányados minden valós

x

y

-ra különbözik 1-től, ezért a polinom az ismert összeg‐képlet felhasználásával zárt alakban felírható:

\begin{matrix} x^{2 n + 1} - 2 x^{2 n - 1} y^{2} ... \pm 2 x y^{2 n} = x^{2 n + 1} - 2 x^{2 n - 1} y^{2} \frac{{(- \frac{y^{2}}{x^{2}})}^{n} - 1}{- \frac{y^{2}}{x^{2}} - 1} = \\ = x^{2 n + 1} - 2 x y^{2} \frac{{(- y^{2})}^{n} - x^{2 n}}{- y^{2} - x^{2}} = x^{2 n + 1} - 2 x y^{2} \frac{x^{2 n} + {(- 1)}^{n + 1} y^{2 n}}{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}

A második polinom úgy áll elő az elsőből, hogy

x

-et és

y

-t felcseréljük. Ezért ha

y \neq 0

, így írható:

\begin{matrix} y^{2 n + 1} - 2 y x^{2} \frac{y^{2 n} + {(- 1)}^{n + 1} x^{2 n}}{y^{2} + x^{2}} . \end{matrix}

A két kifejezésben szereplő tört páratlan

n

esetén azonos, páros

n

esetén pedig egyik a másiknak (

- 1

)-szerese; összefoglalva: bármely (pozitív egész)

n

mellett egyik a másiknak

{(- 1)}^{n + 1}

-szerese. Ennélfogva

\begin{matrix} \frac{x^{2 n} + {(- 1)}^{n + 1} y^{2 n}}{x^{2} + y^{2}} = z \end{matrix}

(2)

jelöléssel a két polinom így írható:

\begin{matrix} x^{2 n + 1} - 2 x y^{2} z, y^{2 n + 1} - 2 {(- 1)}^{n + 1} y x^{2} z . \end{matrix}

Most már négyzetösszegük

\begin{matrix} x^{4 n + 2} + y^{4 n + 2} - 4 x^{2} y^{2} z [x^{2} + {(- 1)}^{n + 1} y^{2 n}] + 4 x^{2} y^{2} z^{2} (y^{2} + x^{2}) . \end{matrix}

Az utolsó tagban

z (y^{2} + x^{2})

helyére (2) számlálóját írva ez a részlet az előtte állóval együtt 0-t ad, tehát a négyzetösszeg értéke

x^{4 n + 2} + y^{4 n + 2}

, az állításnak megfelelően.
Ha

x

és

y

közül valamelyik 0, akkor az azonosság nyilvánvalóan fennáll.

Biró Ilona (Miskolc, Herman O. lg. IV. o. t.)