Kezdőlap


Feladat:	1133. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kertész József
Füzet:	1962/szeptember, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 1133. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldalát könnyen felírhatjuk a közös ,,2'' alap hatványa gyanánt, ugyanis $0, 5 = 2^{- 1}$ és $\sqrt[]{8} = 2^{3 / 2} = 2^{1, 5}$ :

\begin{matrix} 2^{- x^{2} + m x - 0, 5 m + 1, 5} = 2^{1, 5 m - 1, 5} . \end{matrix}

Ez csak úgy állhat fenn, ha a kitevők is egyenlők:

\begin{matrix} - x^{2} + m x - 0, 5 m + 1, 5 = 1, 5 m - 1, 5, \\ x^{2} - m x + 2 m - 3 = 0. \end{matrix}

A nyert másodfokú egyenlet gyökei akkor és csak akkor valósak és különbözők, ha az egyenlet diszkriminánsa pozitív, azaz

\begin{matrix} D = m^{2} - 8 m + 12 > 0. \end{matrix}

(2)

D

értéke az

m_{1} = 2

és

m_{2} = 6

helyeken válik nullává, ezért

m

másodfokú polinomját gyöktényezők szorzatává alakítva (2) így írható:

\begin{matrix} D = (m - 2) (m - 6) > 0. \end{matrix}

Ez a szorzat akkor és csak akkor pozitív, ha tényezői egyenlő előjelűek. Mindkettő negatív, ha a nagyobb

m - 2

tényező negatív, és mindkét tényező pozitív, ha a kisebb

m - 6

tényező pozitív, azaz amikor

\begin{matrix} m - 2 < 0, & ill. ha m - 6 > 0; ezekből \\ m < 2, & ill. \end{matrix}