A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az szakasz középpontját -vel jelölve az háromszög súlyvonala egyben az háromszögnek középvonala, s így hosszúságú. Ennek alapján ez a háromszög megszerkeszthető: az szakaszt felvéve számára egy mértani hely az szakasz nyílású látószögköríve, és egy másik a körül sugárral írt kör. (Elég mindkettőt az egyenes egyik partján megszerkeszteni, ti. amelyen -t kapni kívánjuk; így az -re szimmetrikus megoldás felesleges előállítását elkerüljük.) Ezután -t mint tükörképét kapjuk az pontra. A szerkesztés helyessége nyilvánvaló. A megoldások száma 2, 1, vagy 0, és közös pontjainak száma szerint. 2 megoldás esetén az és háromszögek az szakasz felező merőlegesére tükrösek, és így egybevágók, az és háromszögek azonban nem egybevágók. Az és háromszögekben az oldal közös, , a közbezárt szögek közül hegyesszög, ezért szög tompaszög, így , másképpen
Legyen az körív középpontja . Ha az metszéspont létrejön, akkor Mivel hegyesszög, azért az egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint . Így a középponti és kerületi szögek közti összefüggés szerint , tehát | | Ezeket (3)-ba beírva (és a két oldalt felcserélve) | | ugyanis | 1+cosω=sin2ω2+cos2ω2+cos2ω2-sin2ω2=2cos2ω2. |
A nyert egyenlőtlenség (1) bal oldalának átrendezett alakja. Ennek teljesülnie kell, ha a háromszög szerkeszthető. Fordítva, ha a nyert egyenlőtlenség teljesül, akkor (3) is, de akkor a P-ben AP-re emelt merőleges előbb metszi i-t, mint k-t, viszont (2) folytán A és B, az i körív végpontjai, k belsejében vannak, tehát i-nek és k-nak van közös pontja.
Udvardy Antal (Budapest, Táncsics M. g. III. o. t.)
Megjegyzés. C-t az M pont megszerkesztése nélkül is megkaphatjuk, ha ti. a PBM háromszögnek a B középpontból 2-szeresre nagyított képét szerkesztjük
Nárai György (Budapest, Bem J. g. III. o. t.)
II. megoldás. Húzzuk meg egy tetszés szerinti B*C* szakasz M* felezőpontjából az M*B*-gal ω szöget bezáró félegyenest. Messe ezt a B* és C* alappontokhoz és a c:b aránymutatóhoz tartozó Apollóniosz kör A*-ban. Ekkor A*B*C* a keresetthez hasonló háromszög. A*-tól B*, ill. C* felé felmérve az A*B=c, ill. A*C=b szakaszt, az A*BC háromszög nyilvánvalóan megfelelő. Megmutatható, de elég sok számítást igényel, hogy a félegyenes és a kör közös pontja létezésének feltétele éppen az állításbeli (1).
Bodoky Andrea (Budapest, Teleki Blanka lg. IV. o. t.) |