A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A jobb oldal helyére -et írva (1) így alakítható: | | (2) |
Az eset vizsgálatát későbbre halasztva, minden más esetben , így , és , ezért , és , tehát (2) bal oldalán egyik szorzat sem negatív. Így (2) csak úgy teljesülhet, ha mindkét szorzat eltűnik:
egyszerre fennáll. ‐ (3) két esetben teljesül: ha a) , azaz ( egész szám); b) , ennek csak páratlan mellett van valós megoldása: , azaz Az a) esetben , így (4) csak úgy teljesülhet, ha második tényezője . Páros -re , ezért a második tényező mindig , páratlan -re viszont csak akkor a második tényező, ha , azaz esetén. A b) esetben , tehát (4) teljesül. Végül mellett (1) osztással így írható: | | amiből | |
Más úton ugyanarra az eredményre jutottunk, mint fentebb az -nél nagyobb páratlan kitevőkre. Ezek szerint a megoldás:
Gillemot László (Budapest, József A. g. IV. o. t.)
II. megoldás. Páros esetén és és közti számok ‐ a két határt is megengedve ‐, ennélfogva különbségük legnagyobb értéke úgy adódik, ha legnagyobb és legkisebb értékét vesszük: Az adott egyenlet éppen e legnagyobb érték felvételét írja elő, tehát | |
Páratlan mellett is megoldást ad , , egyébként , így , tehát (egyelőre a intervallumra szorítkozva) Vezessük be új ismeretlennek -et. Ekkor , , és , tehát , és (1) így alakul Innen tehát , ezért csak a szögekről lehet szó. Nyilvánvaló, hogy megoldás, és így (1)-nek is megoldása. Megmutatjuk, hogy a értékekre (5) nem teljesülhet, tehát további megoldás nincs. Valóban, esetén és a derékszögű koordináta-rendszerben az origó körüli egységkör irányszögű pontjának koordinátái, és így az derékszögű háromszögben ( a vetülete az -tengelyre) a háromszög-egyenlőtlenség alapján | |
esetén viszont , , és így . Eredményeink mindenben egyeznek az I. megoldás végén levő összeállítással.
Kláb János (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. III. o. t.) |