Kezdőlap


Feladat:	1127. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Géza
Füzet:	1962/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/október: 1127. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vonjuk ki az első egyenlet négyzetéből a második egyenletet; így az ismeretlenek négyzetei kiesnek:

\begin{matrix} 2 [x y + (x + y) z] = a^{2} - b^{2} . \end{matrix}

x y

és

x + y

az (1), ill. (3) alapján

z

-vel kifejezhető, és így

z

-re egyismeretlenes egyenletet kapunk:

\begin{matrix} 2 [z^{2} + (a - z) z] = a^{2} - b^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z = \frac{a^{2} - b^{2}}{2 a}, \end{matrix}

(4)

feltéve természetesen, hogy

a \neq 0

.
Most már ismerjük

x

és

y

szorzatát és összegét:

\begin{matrix} x y = {(\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a})}^{2}, x + y = a - z = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a}, \end{matrix}

(5)

így

x

és

y

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} u^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a} u + {(\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a})}^{2} = 0. \end{matrix}

A diszkrimináns így alakítható:

\begin{matrix} D = \frac{1}{4 a^{2}} [(a^{2} + b^{2}) - {(2 a^{2} - 2 b^{2})}^{2}] = \frac{1}{4 a^{2}} (3 a^{2} - b^{2}) (3 b^{2} - a^{2}), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} u_{1,2} = \frac{a^{2} + b^{2} \pm \sqrt[]{(3 a^{2} - b^{2}) (3 b^{2} - a^{2})}}{4 a} . \end{matrix}

Eszerint az egyenletrendszernek két megoldása van, ezekben

z

értéke közös,

x

és

y

pedig felcserélve egyenlők:

\begin{matrix} x_{1} = u_{1}, & y_{1} = u_{2}, & z_{1} & = \frac{a^{2} - b^{2}}{2 a}, \\ x_{2} = u_{2}, & y_{2} = u_{1}, & z_{2} & = z_{1} . \end{matrix}

x

y

z

számok pozitívságához (1) szerint szükséges:

\begin{matrix} a > 0. \end{matrix}

Így z valóban pozitív, ha

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} > 0, azaz a > | b | . \end{matrix}

(6)

Ezekkel az (5) alatti mindkét kifejezés pozitív, ezért

x

y

akkor és csak akkor pozitívok, és egyszersmind különbözők is, ha

D

pozitív. Ha pedig

x

y

különbözők, akkor (3) szerint

z

egyikükkel sem egyenlő. (6) miatt

D

első kéttagúja pozitív, így a másodiknak is pozitívnak kell lennie:

\begin{matrix} 3 b^{2} > a^{2} . \end{matrix}

A keresett feltételek a következőkben foglalhatók össze:

\begin{matrix} a > 0, b^{2} < a^{2} < 3 b^{2} . \end{matrix}

Nagy Géza (Debrecen, Református g. IV. o. t.)