Nagyobb természetes számnak a négyzete is, köbe is nagyobb, és két különböző természetes szám közül a nagyobb leírásához ugyanannyi vagy több jegy szükséges, mint amennyi a kisebb leírásához.
A legnagyobb egyjegyű szám négyzetében és köbében együttvéve csak $5$ jegy lép fel: $9^2=81$, $9^3=729$, ezért a kérdéses számok legalább kétjegyűek. Viszont a legkisebb háromjegyű szám esetében $12$ jegyet használunk fel: ${100}^2=10000$, ${100}^3=1000000$, így a kérdéses számok mind kétjegyűek.
Minden $n$ kétjegyű szám négyzetében a jegyek száma: $a=3$, vagy $4$, mert ${10}^2=100$ és ${99}^2=9801$. A változás akkor áll be, ha $n^2$ átlépi a legkisebb $4$-jegyű számot, $1000$-et. Ez nem négyzetszám, négyzetgyöke (egy tizedesre) $31\mathrm{,}6$, így ${31}^2$ még $3$-jegyű, ${32}^2$ már $4$-jegyű.
A kétjegyű számok köbében a jegyek száma $\beta =4$, $5$, vagy $6$, mert ${10}^3=1000$ és ${99}^3=970299$. Itt akkor áll be változás, ha $n^3$ átlépi $10000$-et, ill. $100000$-et. A táblázat szerint ezek köbgyöke (egy tizedesre) $21\mathrm{,}5$, ill. $46\mathrm{,}4$, tehát az $5$-jegyű köbök ${22}^3$-nel, a $6$-jegyűek ${47}^3$-nel kezdődnek.
Az $\alpha$ és $\beta$ számok összegéből csak úgy kapunk $10$-et, ha $\alpha =4$, és $\beta =6$. Eszerint $n\geqq 32$ és $n\geqq 47$ ezért $47$ a legkisebb, $99$ a legnagyobb megfelelő szám, és számuk $99-46=53$.