|
Feladat: |
1125. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr András , Csákó Gy. , Jójárt I. , Kunszt Z. , Lehel J. , Orbán Szilvia , Reuss P. , Vág I. , Zalán P. |
Füzet: |
1962/május,
205 - 207. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Hossz, kerület, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/szeptember: 1125. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Legyen az középpont körüli sugarú körbe írt szabályos -szög egy oldala , a rövidebb ív felezőpontja , így a beírt szabályos -szög oldala . Húzzuk meg továbbá a kör érintőjét , és -ben, legyen az első két érintő metszéspontja , és messe a harmadik az első kettőt , -ban. Így és fele akkora, mint a körülírt szabályos -szög oldala, pedig a körülírt szabályos -szög oldala. E jelölésekkel , , , , és a bizonyítandó összefüggések így alakulnak:
A -ből húzott érintők egyenlősége alapján , ezért párhuzamos -vel, így a és háromszögek hasonlóságából: | | és ebből -t kifejezve (2)-re jutunk. A és egyenlő szárú háromszögek ugyancsak hasonlók, mert az alapon fekvő , ill. szögek váltószögek. Így | | ez pedig (3)-ra vezet. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. 2. Ismeretes, hogy és . Ezekből az (1) képletekkel
Másrészt és , és így
Orbán Szilvia (Budapest, Kaffka M. lg. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1: A (2) összefüggést másképpen is megkaphatjuk. Messe pl. , az -beli érintőt , ill. -ban, így . Mivel felezi a szöget, azért a szögfelező osztásarányára ismert tétel szerint
Benczur András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. IV. o. t.)
2. A dolgozatok legnagyobb része trigonometriai képletek és goniometriai azonosságok felhasználásával bizonyította az állításokat; vagyis a fentieknél erősebb eszközökkel, és minden esetben hosszabb úton. Erre nem volt szükség. 3. Bár a bizonyítást a (2) és (3) alakban a sokszögek oldalaira végeztük, az állítást ‐ történeti okból ‐ mégis a kerületekre mondtuk ki. Ugyanis Archimedész a fenti képletpárral számította a , , , és oldalú körülírt és beírt sokszögek kerületét és a | | sorozatból egyre kisebb eltérésű egyenlőtlenségpárokat kapott a kör kerületének két határ közé zárásához: , , s. í. t. Ezt az eljárást nevezi a matematika története archimedészi algoritmusnak (lépésről lépésre való műveletsorozatnak). 4. (2) és (3) természetesen akkor is érvényesek, ha a kör egy tetszés szerinti húrja, a vele párhuzamos, közelebbi érintőből a húr végpontjaihoz tartozó sugarakkal kimetszett szakasz, a húrral lemetszett rövidebb ív feléhez tartozó húr, végül ugyanúgy áll elő -ből, mint az -ből. |
|