A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nyilvánvaló, hogy és az háromszög tengelyére tükrösek, egymást a tengelyen érintik, tehát az , pedig a derékszögű egyenlő szárú háromszög beírt köre. Ezek befogóinak hossza . Másrészt a beírt kör sugarát ‐ ha a befogók , és az átfogó ‐ a képlet adja meg. Ezért és sugara: | |
Legyen , sugara , , középpontja , utóbbi nyilván a -en ‐ érintési pontjuk -n , -és vetülete az egyenesen . Ekkor az derékszögű háromszög átfogója és összege, egyik befogója a pozitív különbségük, másik befogója pedig . Ebből
behelyettesítésével és rendezéssel -ra így a kisebb gyök (A négyzetgyököt jellel véve , ez a kör nincs benne a háromszögben.) esetén , . E sugarakkal a , , szögek szárait érintő köröket rajzolva, azok páronként egymást is érintik.
Somogyi Károly (Bonyhád, Petőfi S. g. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. Az ellenőrzés szerkesztéssel is végrehajtható. és megállapítása alapszerkesztés. Ha körül sugárral kört írunk, ennek -vel párhuzamos érintői közül az -hoz közelebbinek, -nek -tól mért távolsága (a háromszögön kívül) , tehát megszerkeszthető. Érintse az -t -ben, és messe az -t -ben, ekkor nyilván , tehát az adódott , szakaszok mértani közepét megszerkesztve kitűzhető. Az -re -ben állított merőleges -ből kimetszi -at. V. L. 2. A fentiekben az egyenlő szárú derékszögű háromszög speciális esetére számítással és szerkesztéssel megoldottuk az ún. Malfatti- feladatot, amely - első megfogalmazásában ‐ bármely háromszög belsejében azon 3 kör meghatározását kívánja, melyek mindegyike kívülről érinti a másik 2 kört és a háromszög más-más 2 oldalát. Malfatti olasz matematikus (1731 ‐ 1803). |