Kezdőlap


Feladat:	1124. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Károly
Füzet:	1962/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1124. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy $k_{1}$ és $k_{2}$ az $A B C$ háromszög $C C_{1}$ tengelyére tükrösek, egymást a tengelyen érintik, tehát $k_{1}$ az $A C C_{1}$ , $k_{2}$ pedig a $B C C_{1}$ derékszögű egyenlő szárú háromszög beírt köre. Ezek befogóinak hossza $b / \sqrt[]{2}$ . Másrészt a beírt kör sugarát ‐ ha a befogók $a$ , $b$ és az átfogó $c$ ‐ a $ϱ = (a + b - c) / 2$ képlet adja meg. Ezért $k_{1}$ és $k_{2}$ sugara:

\begin{matrix} ϱ_{1} = ϱ_{2} = \frac{1}{2} (2 b / \sqrt[]{2} - b) = (\sqrt[]{2} - 1) b / 2 \approx 0, 2071 b . \end{matrix}

Legyen

k_{3}

, sugara

ϱ_{3}

k_{1}

k_{3}

középpontja

O_{1}

O_{3}

utóbbi nyilván a

C C_{1}

-en ‐ érintési pontjuk

C A

-n

E_{1}

E_{3}

-és

O_{3}

vetülete az

O_{1} E_{1}

egyenesen

O_{3}'

. Ekkor az

O_{1} O_{3} O_{3}'

derékszögű háromszög átfogója

ϱ_{1}

és

ϱ_{3}

összege, egyik befogója a pozitív különbségük, másik befogója pedig

O_{3} O_{3}' = E_{3} E_{1} = C E_{1} - C E_{3} = C E_{1} - O_{3} E_{3} = b / 2 - ϱ_{3}

. Ebből

\begin{matrix} {(\frac{b}{2} - ϱ_{3})}^{2} = {(ϱ_{1} + ϱ_{3})}^{2} - {(ϱ_{1} - ϱ_{3})}^{2} = 4 ϱ_{1} ϱ_{3}, \end{matrix}

ϱ_{1}

behelyettesítésével és rendezéssel

ϱ_{3}

-ra

\begin{matrix} 4 ϱ_{3}^{2} - 4 (2 \sqrt[]{2} - 1) b ϱ_{3} + b^{2} = 0, \end{matrix}

így a kisebb gyök

\begin{matrix} ϱ_{3} = b (\sqrt[]{2} - \frac{1}{2} - \sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}) \approx 0, 148 b . \end{matrix}

(A négyzetgyököt

+

jellel véve

ϱ_{3}^{*} \approx 1, 680 b

, ez a kör nincs benne a háromszögben.)

b = 20 cm

esetén

ϱ_{1} = ϱ_{2} \approx 41, 4 mm

ϱ_{3} \approx 29, 7 mm

. E sugarakkal a

B A C

A B C

A C B

szögek szárait érintő köröket rajzolva, azok páronként egymást is érintik.

Somogyi Károly (Bonyhád, Petőfi S. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az ellenőrzés szerkesztéssel is végrehajtható.

O_{1}

és

O_{3}

megállapítása alapszerkesztés. Ha

O_{3}

körül

O_{3} O_{1}

sugárral

k

kört írunk, ennek

A C

-vel párhuzamos érintői közül az

A C

-hoz közelebbinek,

e

-nek

A C

-tól mért távolsága (a háromszögön kívül)

ϱ_{1}

, tehát

e

megszerkeszthető. Érintse

k

e

-t

T

-ben, és messe

O_{1} O_{2}

e

-t

D

-ben, ekkor nyilván

D T^{2} = D O_{1} \cdot D O_{2}

, tehát az adódott

D O_{1}

D O_{2}

szakaszok mértani közepét megszerkesztve

T

kitűzhető. Az

e

-re

T

-ben állított merőleges

C C_{1}

-ből kimetszi

O_{3}

-at.
V. L.
2. A fentiekben az egyenlő szárú derékszögű háromszög speciális esetére számítással és szerkesztéssel megoldottuk az ún. Malfatti-^{$^{*}$} feladatot, amely - első megfogalmazásában ‐ bármely háromszög belsejében azon 3 kör meghatározását kívánja, melyek mindegyike kívülről érinti a másik 2 kört és a háromszög más-más 2 oldalát.

^{$^{*}$}Malfatti olasz matematikus (1731 ‐ 1803).