A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A keresett háromszögben az adott szög felezője meghosszabbításának a körülírt körrel való metszéspontja felezi a -t nem tartalmazó ívet, mert az és kerületi szögek egyenlők. Másrészt a íven fekvő és szögek is egyenlők. Így az és háromszögek hasonlók, mert -nél levő szögük közös, tehát Itt ismert szakasz, mert az oldalból és az szögből , továbbá rajta megszerkeszthető. Ennélfogva az adódó | | (1) | egyenlőség felhasználásával és is szerkeszthetők, pl. a körhöz külső pontból húzott szelőn és érintőn létrejött szakaszokra ismert tétel alapján, ha a szelőnek a körbe eső húrját -nek, az érintő hosszát pedig -nek vesszük.
1. ábra A segédszerkesztés célszerűen úgy végezhető, hogy az -t -ban érintő, átmérőjű kört vesszük és meghúzzuk ehhez -ből a középpontján átmenő szelőt (ahol ). Ekkor . Mivel , így
tehát -t -ból az körül sugárral írt körívvel metszhetjük ki. ( szerkesztését megkönnyíti az az észrevétel, hogy középpontja az egyenesen van, ahol a kör -vel átellenes pontja.) Az háromszög megfelel a feltételnek. Ugyanis egyenlő az adott szakasszal, felezi az szöget, végül -et -ből felé felmérve ‐ vagy ami ugyanaz, -re -t ráforgatva ‐ a végpont -n van. Valóban, (1) szerint az háromszög körülírt köre érinti -t, ezért az (húr-érintő) szögre | | és egyértelműen szerkeszthető. Nyilvánvaló, hogy létrejön, ha , másképpen: ha , ahol az oldal felezőpontja. Ezekből -re is adhatunk feltételt: vagyis nem lehet nagyobb annál a távolságnál, amennyire az szakasz nyilású látószög-körívének -től legtávolabbi pontja van. A különböző megoldások száma nyilvánvalóan vagy . Szerkesztésünk bármely adott szög esetén érvényes, mert sehol nem használtuk ki, hogy esetünkben ez a szög derékszög. Derékszögű háromszög esetére (2) így alakul: .
Kunszt Zoltán (Pápa, Türr I. g. IV. o. t.)
II. megoldás. Az I. megoldás szerinti körből -t a átfogóhoz tartozó magasság ismerete alapján is kimetszhetjük. -re egyenletet abból kaphatunk, hogy az és részháromszögek együttes területe egyenlő az háromszög területével. -ből a befogókra bocsátott merőlegesek hossza a létrejövő egyenlő szárú derékszögű háromszögekből , ezért Innen Pythagorász tétele és alapján | | tehát négyzetre emeléssel és rendezéssel Ennek gyökei biztosan valósak, mert a tiszta tag negatív, a négyzetes tag együtthatója pedig pozitív. Ebből azt is látjuk, hogy a két gyök ellentett előjelű. A pozitív gyök: az adatok alapján mindig megszerkeszthető. Háromszöget csak akkor kapunk, ha , azaz amiből négyzetre emeléssel, majd gyökvonással, és figyelembe véve, hogy , pozitívok Antal Kálmán (Budapest, Kandó K. hír. ip. t. III. o. t.)
2. ábra Megjegyzés. (3) szerkesztésében észrevehetjük, hogy a zárójelben álló kéttagú , ahol a kör középpontját jelöli. Eszerint , tehát mint befogó fölé átfogóval derékszögű háromszöget szerkesztve -et megadja -nek a -be eső szakasza (2. ábra). (Ez természetesen csak esetén érvényes.)
3. ábra III. megoldás. Megrajzolva az és háromszög körülírt körét, ezek átmennek azoknak az -re, ill. -re mint befogóra szerkesztett , ill. egyenlő szárú derékszögű háromszögeknek a , ill. csúcsán, amelyek -nek ugyanazon oldalán vannak, mint , és a derékszögek csúcsa , ill. . Így ugyanis . A létrejött húrnégyszögekből , tehát a egyenesen van, és . Másrészt
Eszerint a derékszögű háromszögből ismert a befogók összege és az átfogóhoz tartozó magasság. Ha ezt a háromszöget megszerkesztjük, ebből egy az előírásnak megfelelő háromszög csúcsait úgy kapjuk, hogy vesszük az átfogóhoz tartozó magasság talppontját és a befogók fölé kifelé szerkesztett négyzetek középpontját. A háromszög megszerkesztése a II. megoldáséhoz hasonló számítás alapján történhetik. A befogók összegét -vel, az egyik befogót -val jelölve az átfogó hossza . A kétszeres terület négyzetét kétféleképpen számítva | | Ez másodfokú egyenlet -ra, aminek alapján a befogók mértani közepe, majd az I. megoldás segédszerkesztésének mintájára a befogók megszerkeszthetők. A szerkesztés helyességének bizonyítását és a diszkussziót az olvasóra bizzuk.
Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. IV. o. t.)
|