Kezdőlap


Feladat:	1119. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunszenti Tamás , Surányi Andor , Verdes Miklós
Füzet:	1962/március, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1119. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $p$ -t tartalmazó tagokat különválasztva (1) bal oldala szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (x^{2} - 1) + p (x + 1) = (x + 1) (x - 1 + p) . \end{matrix}

Eszerint a gyökök:

x_{1} = - 1

x_{2} = 1 - p

. Az

x_{1}

behelyettesítésével (2) így alakítható át:

\begin{matrix} x_{2}^{2} (1 + x_{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha vagy

\begin{matrix} x_{2} = 0, azaz 1 - p = 0 -ból p = 1, vagy \\ 1 + x_{2} = 0, azaz 2 - p = 0, p = 2. \end{matrix}

Kunszenti Tamás (Budapest, Petőfi S. g. IV. o. t.)

II. megoldás. A gyökök felírása nélkül is célhoz érünk a gyökök és az együtthatók közötti összefüggések felhasználásával. (2)-t 0-ra redukálva

\begin{matrix} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + (x_{1}^{3} + x_{2}^{3}) = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 0. \end{matrix}

Ide az (1)-ből adódó

x_{1} + x_{2} = - p

x_{1} x_{2} = p - 1

kifejezéseket behelyettesítve egyenletet kapunk

p

-re:

\begin{matrix} p^{2} - 2 (p - 1) - p^{3} + 3 p (p - 1) = - p^{3} + 4 p^{2} - 5 p + 2 = 0. \end{matrix}

(4)

Észrevéve, hogy az együtthatók összege 0, látjuk, hogy (4) egyik gyöke

p = 1

, tehát a bal oldalon

p - 1

kiemelhető:

\begin{matrix} (p - 1) (- p^{2} + 3 p - 2) = 0. \end{matrix}

(5)

És mivel a második zárójelben levő polinom 0-helyei 1 és 2, azért egyenletünk

\begin{matrix} - {(p - 1)}^{2} (p - 2) = 0, \end{matrix}

ami

p = 1

és

p = 2

-re teljesül.

Verdes Miklós (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. (3)-ból látható, hogy a meghatározott

p

értékekkel ‐ és csak ezekkel ‐ minden pozitív egész

n

-re teljesül az általánosabb

\begin{matrix} x_{1}^{n} + x_{1}^{n + 1} = - (x_{2}^{n} + x_{2}^{n + 1}) \end{matrix}

követelmény.

Surányi Andor (Budapest, Madách I. g. IV. o. t.)

2. (4)-ből (5)-öt a

p^{2} - p^{3} = - p^{2} (p - 1)

kiemeléssel is megkaphatjuk.