|
Feladat: |
1118. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Demendy Z. , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Gálfi László , Gáspár R. , Homitzky L. , Katona Éva , Kéry G. , Kiss Tünde , Kóta J. , Kovács I. , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel Cs. , Lehel J. , Máté Attila , Máté Eörs , Molnár Emil , Nagy Dénes Lajos , Nagypál B. , Náray-Szabó Gábor , Nováky Béla , Opálény M. , Pacher P. , Pór A. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Sonnevend Gy. , Szegő K. , Székely Jenő , Szidarovszky F. , Tichy G. , Tistyán P. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P. , Zalay M. |
Füzet: |
1962/március,
107 - 109. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Koordináta-geometria, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/május: 1118. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. I. A keresett állandó pontokon a görbének az egyszerű számítást biztosító és értékek mellett is át kell mennie. Az így adódó egyenletrendszerből kiküszöbölésével Innen ‐ tekintve, hogy minden valós -re ‐ adódik , vagyis , tehát (1)-ből mindkét esetre . Eszerint az állandó pontok csak és lehetnek. Valóban az adott függvény értéke az helyeken független értékétől: , tehát az ábrázoló görbék minden mellett átmennek -n és -n. II. Az parabola esetében az olyan egyeneseket tekintettük érintőknek, amelyeknek a parabolával való két közös pontjuk egybeesik, másképpen, amelyek egyenletét a paraboláéval összekapcsolva és az egyenletrendszerből -t kiküszöbölve az -re kapott másodfokú egyenletnek két egyenlő gyöke van. Így az egyenlet két gyöktényezője egyenlő. Esetünkben az egyenes egyenlete , így az , egyenletrendszerből adódó egyenletnek az szám a fentiek szerint gyöke, tehát a bal oldalnak tényezője. Valóban
A további közös pontok abszcisszáit a egyenletből kapjuk. Az előírt -beli érintés a parabola mintájára csak akkor következik be, ha az -szám gyöke (2)-nek. Kell tehát, hogy teljesüljön, vagyis . Ekkor (2) így alakul: és a zárójelből az gyöktényező valóban kiemelhető:
Most már az egyenletből a további két metszéspont abszcisszája . Eszerint a metszéspontok: | |
Máté Eörs (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)
Megjegyzés. A görbék közös pontjait a következő meggondolásból is megkaphatjuk. A függvény kifejezésének szerint rendezett alakjából látjuk, hogy csak azokra az -ekre független -től, amelyekre . |
|