Kezdőlap


Feladat:	1118. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Demendy Z. , Farkas Zoltán , Fazekas P. , Gálfi László , Gáspár R. , Homitzky L. , Katona Éva , Kéry G. , Kiss Tünde , Kóta J. , Kovács I. , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel Cs. , Lehel J. , Máté Attila , Máté Eörs , Molnár Emil , Nagy Dénes Lajos , Nagypál B. , Náray-Szabó Gábor , Nováky Béla , Opálény M. , Pacher P. , Pór A. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Sonnevend Gy. , Szegő K. , Székely Jenő , Szidarovszky F. , Tichy G. , Tistyán P. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P. , Zalay M.
Füzet:	1962/március, 107 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 1118. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. I. A keresett állandó pontokon a görbének az egyszerű számítást biztosító $c = 0$ és $c = 1$ értékek mellett is át kell mennie. Az így adódó

\begin{matrix} y = x^{2}, y = x^{4} + x^{2} - 1 \end{matrix}

(1)

egyenletrendszerből

y

kiküszöbölésével

\begin{matrix} x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = 0. \end{matrix}

Innen ‐ tekintve, hogy minden valós

x

-re

x^{2} + 1 ≧ 1 > 0

‐ adódik

x^{2} - 1 = 0

, vagyis

x = \pm 1

, tehát (1)-ből mindkét esetre

y = 1

. Eszerint az állandó pontok csak

A (1,1)

és

B (- 1,1)

lehetnek. Valóban az adott függvény értéke az

x = \pm 1

helyeken független

c

értékétől:

y = c + 1 - c = 1

, tehát az ábrázoló görbék minden

c

mellett átmennek

A

-n és

B

-n.

II. Az

y = x^{2}

parabola esetében az olyan egyeneseket tekintettük érintőknek, amelyeknek a parabolával való két közös pontjuk egybeesik, másképpen, amelyek egyenletét a paraboláéval összekapcsolva és az egyenletrendszerből

y

-t kiküszöbölve az

x

-re kapott másodfokú egyenletnek két egyenlő gyöke van. Így az egyenlet két gyöktényezője egyenlő.
Esetünkben az

O A

egyenes egyenlete

y = x

, így az

y = x

y = c x^{4} + x^{2} - c

egyenletrendszerből adódó

\begin{matrix} c x^{4} + x^{2} - x - c = 0 \end{matrix}

egyenletnek az

x = 1

szám a fentiek szerint gyöke, tehát

x - 1

a bal oldalnak tényezője. Valóban

\begin{matrix} c (x^{4} - 1) + (x^{2} - x) = c (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) + x (x - 1) = \\ = (x - 1) [c (x + 1) (x^{2} + 1) + x] = (x - 1) [c x^{3} + c x^{2} + (c + 1) x + c] . \end{matrix}

A további közös pontok abszcisszáit a

\begin{matrix} c x^{3} + c x^{2} + (c + 1) x + c = 0 \end{matrix}

(2)

egyenletből kapjuk. Az előírt

A

-beli érintés a parabola mintájára csak akkor következik be, ha az

x = 1

-szám gyöke (2)-nek. Kell tehát, hogy

\begin{matrix} c + c + (c + 1) + c = 4 c + 1 = 0 \end{matrix}

teljesüljön, vagyis

c = - 1 / 4

. Ekkor (2) így alakul:

\begin{matrix} - 1 / 4 (x^{3} + x^{2} - 3 x + 1) = 0, \end{matrix}

és a zárójelből az

x - 1

gyöktényező valóban kiemelhető:

\begin{matrix} (x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) - 3 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1 + x + 1 - 3) = \\ = (x - 1) (x^{2} + 2 x - 1) . \end{matrix}

Most már az

x^{2} + 2 x - 1 = 0

egyenletből a további két metszéspont abszcisszája

x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt[]{2}

. Eszerint a metszéspontok:

\begin{matrix} M_{1} (- 1 - \sqrt[]{2}, - 1 - \sqrt[]{2}), M_{2} (- 1 + \sqrt[]{2}, - 1 + \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

Máté Eörs (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A görbék közös pontjait a következő meggondolásból is megkaphatjuk. A függvény kifejezésének

c

szerint rendezett

\begin{matrix} y = c (x^{4} - 1) + x^{2} \end{matrix}

alakjából látjuk, hogy

y

csak azokra az

x

-ekre független

c

-től, amelyekre

x^{4} - 1 = 0