A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha az egyenes merőleges és -re, akkor az háromszög egyenlő szárú, mert így az és félegyenesek az , ill. félegyenesből is egyenlő nagyságú és ellentétes irányú forgatással jönnek létre. Kivétel az eset, mert ekkor és egybeesnek, határozatlan. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor a mértani hely az szakasz felező merőlegese a felezőpont kivételével. Ha nem merőleges és -re, akkor vegyük a szakasz felezőpontját derékszögű koordinátarendszerünk origójának, és legyen az -tengely párhuzamos és -fel. Így koordinátáit -vel jelölve . Ha még , akkor , tehát , ill. egyenlete: Így az metszéspont koordinátái: (, hiszen és esetére nincs metszéspont; számításunk esetére sem érvényes, de tudjuk, hogy ekkor sincs metszéspont, mert .) kiküszöbölésével Itt feltevésünknél fogva ; másrészt nyilván , mert és esnek egybe. Eszerint minden pont rajta van az egyenletű egyenlő oldalú hiperbolán, melynek aszimptotái a koordinátatengelyek, és amely átmegy -n. Látjuk ugyanis, hogy és koordinátái is kielégítik az egyenletet (még egyszerűbb azonban, hogy ha , akkor , ha pedig , akkor ). Megmutatjuk, hogy e hiperbola minden pontjára és egyenlő abszolút értékű, de ellentétes forgási irányú ill. szöget zár be -vel, ill. -fel. Ehhez elegendő megmutatnunk, hogy és összege 0. Valóban -sal
Eszerint a keresett mértani helyet a hiperbola összes pontjai adják.
Kiss Tünde (Tamási, Béri Balogh Á. Gimn. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. A hiperbola egyenletét és egyenletének felírása nélkül abból is megkaphatjuk, hogy ha és az vetülete -n, ill. -en, akkor az és hasonló derékszögű háromszögek, befogóik aránya egyenlő. Így azonban több eset szétválasztására van szükség aszerint, hogy az és által szétvágott sík melyik félsíkján, ill. a síksávban van. Csak az előjelek vizsgálatával biztosíthatjuk, hogy a koordinátákból helyesen írjuk fel az említett befogók abszolút értékét, másrészt, hogy az és forgások ellentétes irányúak legyenek. Ha pedig ezt elmulasztjuk, akkor a mértani helynek csupán az I. síknegyedbeli részét kapjuk (ha ti. és ). Ugyanezek a kérdések azoknak a derékszögű háromszögeknek a felhasználásával is fellépnek, amelyeket az és -nek a tengelyeken levő metszéspontjaival és -mel meghatározott egyenlő szárú háromszögekből a magasság meghúzásával kapunk. Az ilyen ,,második megoldások'' többnyire hiányosak. 2. Néhány további, részben elemi megoldás abból vélte kikövetkeztetni, hogy hiperbolával állunk szemben, hogy és , ill. és egyenlő távol vannak ill. -nek a tengelyeken levő metszéspontjaitól. Ez az aszimptótás‐tulajdonság minden hiperbolánál fennáll, megvizsgálandó volna azonban, hogy nincs-e más olyan görbe is, amelynek szelőin bizonyos egyenesekre vonatkozóan hasonló egyenlőség áll fenn. Más szóval, hogy ez a tulajdonság a hiperbolának meghatározó tulajdonsága-e. |