Kezdőlap


Feladat:	1115. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bellay Ágnes , Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Farkas Zoltán , Fukker G. , Gálfi l. , Huber T. , Katona Éva , Kerényi Ilona , Kéry G. , Kiss Ildikó , Kóta J. , Kovács Imre , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel Cs. , Lehel J. , Makai E. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagypál B. , Náray-Szabó G. , Nováky Béla , Opálény M. , Pór A. , Sebestyén Z. , Simonovits Miklós , Szegő K. , Székely Jenő , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Tattay Emőke , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P. , Zalay M.
Füzet:	1962/április, 157 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, A háromszögek nevezetes pontjai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 1115. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A 637. gyakorlat megoldása¹során bebizonyítottuk; hogy
a) hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének szögei rendre egyenlők az eredeti háromszög szögei pótszögének a 2-szeresével, valamint hogy
b) tompaszögű háromszög talpponti háromszögének két szöge 2-szer akkora, mint az eredeti háromszög megfelelő hegyesszöge, a harmadik pedig $180^{\circ}$ -kal kisebb a tompaszög 2-szeresénél.
Láttuk továbbá, hogy derékszögű háromszögben a magasságtalppontok nem alkotnak háromszöget.
Feltéve, hogy a keresett $H$ háromszög-alak hegyesszögű, betűzzük a szögeket úgy, hogy álljon $90^{\circ} > a ≧ β ≧ γ$ . Ekkor a $T$ talpponti háromszögnek a) alapján kifejezhető $α'$ , $β'$ , $γ'$ szögeire:

\begin{matrix} α' = 180^{\circ} - 2 α ≦ β' = 180^{\circ} - 2 β ≦ γ' = 180^{\circ} - 2 γ . \end{matrix}

H

és

T

hasonlósága nyilván csak úgy állhat fenn, ha a szögek nagyság szerinti rendben egyeznek meg. Ebből a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} α = 180^{\circ} - 2 γ, β = 180^{\circ} - 2 β, γ = 180^{\circ} - 2 α . \end{matrix}

Innen

α = β = γ = 60^{\circ}

, vagyis

H

valóban hegyesszögű, és a 637. gyakorlatban látott alaktól különböző.
Tegyük fel másodszor, hogy

H

tompaszögű, és benne

\begin{matrix} α > 90^{\circ} > β \geq γ . \end{matrix}

(1)

Így b) szerint

T

szögei:

\begin{matrix} α' = 2 α - 180^{\circ}, β' = 2 β, γ' = 2 γ . \end{matrix}

(2)

Itt

γ' ≦ β'

; másrészt hasonlóság esetén

γ'

nem lehet

T

legkisebb szöge, mert

γ' = γ

-ból

γ = 0^{\circ}

-ra jutnánk. Eszerint

T

legkisebb szöge

α'

, vagyis

\begin{matrix} α' < γ' < β' \end{matrix}

(egyenlőség

γ'

és

β'

között sem állhat, mert

β'

, mint a legnagyobb szög, tompaszög), tehát

\begin{matrix} α' = 2 α - 180^{\circ} = γ, γ' = 2 γ = β, β' = 2 β = α . \end{matrix}

Innen

α = 2 β = 4 γ

, másképpen

α : β : γ = 4 : 2 : 1

, vagyis ez esetben

H

a 637. gyakorlatban vizsgált alak.
Más lehetőség a hasonlóságra nincs, ezzel az állítást bebizonyítottuk.

II. Keressünk olyan tompaszögű

H

-t, amelyre

T_{1}

ugyancsak tompaszögű, nem hasonló

H

-hoz, és

T_{2} \sim H

. Így

H

és

T_{1}

szögeit ismét (1) és (2) adják, és

γ'

nem lehet tompaszög. Feltéve, hogy

T_{1}

szögei közül

α'

a tompaszög, b) szerint

T_{2}

szögei:

\begin{matrix} α'' = 2 α' - 180^{\circ} = 4 α - 540^{\circ}, β'' = 2 β' = 4 β, γ'' = 2 γ' = 4 γ . \end{matrix}

Itt a fenti második esethez hasonló meggondolással

γ'' \leq β''

, és

γ''

nem a legkisebb szöge

T_{2}

-nek, ezért a legkisebb szög

α''

. Az előírt hasonlóság miatt

\begin{matrix} α'' = γ, & γ'' = β & β'' = α, azaz \\ 4 α - 540^{\circ} = γ, & 4 γ = β, & 4 β = α, \end{matrix}

tehát

α : β : γ = 16 : 4 : 1

. Másképpen,

\begin{matrix} \frac{180^{\circ}}{16 + 4 + 1} = \frac{180^{\circ}}{21} = ε jelöléssel α = 16 ε, β = 4 ε, γ = ε . \end{matrix}

Így valóban

α > β + γ

, ezért

T_{1}

, szögei:

α' = 2 α - 180^{\circ} = 32 ε - 21 ε = 11 ε

β' = 2 β = 8 ε

γ' = 2 γ = 2 ε

, ezekre ismét

α' > β' + γ'

, tehát

α'' = 2 α' - 180^{\circ} = 22 ε - 21 ε = ε = γ

β'' = 2 β' = 16 ε = α

és

γ'' = 2 γ' = 4 ε = β

H

és

T_{2}

hasonlóságából következik, hogy talpponti háromszögeik:

T_{1}

, ill.

T_{3}

ugyancsak hasonlók, tehát a

T_{1}

alak (a szögek aránya

2 : 8 : 11

) ugyancsak megfelel a követelménynek. Ezzel az előírást teljesítettük.

Bornes Klára (Budapest, Teleki Blanka Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzés. A II. rész követelményének megfelelő összes alakok (szögarányok) a következők:

H

T_{2}

T_{4}

...

hegyesszögű,

T_{1}

T_{3}

T_{5}

...

tompaszögű:

\begin{matrix} 1 : 2 : 2; 3 : 1 : 1; \\ 2 : 5 : 6; 9 : 3 : 1; \\ 2 : 6 : 7; \end{matrix}