|
Feladat: |
1115. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bellay Ágnes , Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Farkas Zoltán , Fukker G. , Gálfi l. , Huber T. , Katona Éva , Kerényi Ilona , Kéry G. , Kiss Ildikó , Kóta J. , Kovács Imre , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel Cs. , Lehel J. , Makai E. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagypál B. , Náray-Szabó G. , Nováky Béla , Opálény M. , Pór A. , Sebestyén Z. , Simonovits Miklós , Szegő K. , Székely Jenő , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Tattay Emőke , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P. , Zalay M. |
Füzet: |
1962/április,
157 - 159. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, A háromszögek nevezetes pontjai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/május: 1115. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A 637. gyakorlat megoldásasorán bebizonyítottuk; hogy a) hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének szögei rendre egyenlők az eredeti háromszög szögei pótszögének a 2-szeresével, valamint hogy b) tompaszögű háromszög talpponti háromszögének két szöge 2-szer akkora, mint az eredeti háromszög megfelelő hegyesszöge, a harmadik pedig -kal kisebb a tompaszög 2-szeresénél. Láttuk továbbá, hogy derékszögű háromszögben a magasságtalppontok nem alkotnak háromszöget. Feltéve, hogy a keresett háromszög-alak hegyesszögű, betűzzük a szögeket úgy, hogy álljon . Ekkor a talpponti háromszögnek a) alapján kifejezhető , , szögeire: | | és hasonlósága nyilván csak úgy állhat fenn, ha a szögek nagyság szerinti rendben egyeznek meg. Ebből a következő egyenletrendszert kapjuk: | | Innen , vagyis valóban hegyesszögű, és a 637. gyakorlatban látott alaktól különböző. Tegyük fel másodszor, hogy tompaszögű, és benne Így b) szerint szögei: | | (2) | Itt ; másrészt hasonlóság esetén nem lehet legkisebb szöge, mert -ból -ra jutnánk. Eszerint legkisebb szöge , vagyis (egyenlőség és között sem állhat, mert , mint a legnagyobb szög, tompaszög), tehát | | Innen , másképpen , vagyis ez esetben a 637. gyakorlatban vizsgált alak. Más lehetőség a hasonlóságra nincs, ezzel az állítást bebizonyítottuk.
II. Keressünk olyan tompaszögű -t, amelyre ugyancsak tompaszögű, nem hasonló -hoz, és . Így és szögeit ismét (1) és (2) adják, és nem lehet tompaszög. Feltéve, hogy szögei közül a tompaszög, b) szerint szögei: | | Itt a fenti második esethez hasonló meggondolással , és nem a legkisebb szöge -nek, ezért a legkisebb szög . Az előírt hasonlóság miatt
tehát . Másképpen, | | Így valóban , ezért , szögei: , , , ezekre ismét , tehát , és . és hasonlóságából következik, hogy talpponti háromszögeik: , ill. ugyancsak hasonlók, tehát a alak (a szögek aránya ) ugyancsak megfelel a követelménynek. Ezzel az előírást teljesítettük.
Bornes Klára (Budapest, Teleki Blanka Gimn. IV. o. t.)
Megjegyzés. A II. rész követelményének megfelelő összes alakok (szögarányok) a következők:
, , , hegyesszögű, , , , tompaszögű:
, , , tompaszögű, , , , tompaszögű: K. M. L. 22 (1961/3) 110. o. |
|