Kezdőlap


Feladat:	1114. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bellay Ágnes , Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Demendy Z. , Fajszi Cs. , Farkas Zoltán , Fukker G. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi László , Gáspár R. , Huber T. , Katona Éva , Kéry G. , Kóta J. , Kunszt Z. , Lehel Cs. , Lehel J. , Major J. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagypál B. , Náray-Szabó G. , Opálény M. , Pór A. , Simonovits Miklós , Sonnevend György , Szegő K. , Székely Jenő , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán F. Á. , Zalán P. , Zalay Miklós
Füzet:	1962/április, 154 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 1114. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Jelentse $β$ az (1) egyenlet egy gyökét, vagyis álljon fenn

\begin{matrix} g (β) = β^{4} + 3 β^{3} + 4 β^{2} + 2 β + 1 = 0. \end{matrix}

(3)

Eszerint a

- β

számra teljesül

\begin{matrix} {(- β)}^{4} - 3 {(- β)}^{3} + 4 {(- β)}^{2} - 2 (- β) + 1 = 0, \end{matrix}

vagyis

- β

gyöke az

\begin{matrix} x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1 = 0 \end{matrix}

(4)

ugyancsak negyedfokú egyenletnek, melyben a páratlan fokszámú tagok együtthatói az (1) megfelelő együtthatóinak

(- 1)

-szeresei, a többi együtthatók pedig egyenlők (1) megfelelő együtthatóival.

β

az (1)-nek bármelyik gyökét jelentheti, ezért (4)-et az (1) mindegyik gyökének

(- 1)

-szerese kielégíti. Más szám nem is tesz eleget (4)-nek, hiszen ha ennek egy gyöke

γ

, akkor

- γ

gyöke a (4)-ből az iménti módosítással képezett egyenletnek, vagyis (1)-nek. Ezek szerint (4) éppen a keresett első egyenlet.
Ha (3) teljesül, akkor

β \neq 0

, hiszen

g (0) = 1 \neq 0

. Így mindegyik

β

gyök reciprokára fennáll

\begin{matrix} \frac{g (β)}{β^{4}} = 1 + 3 \frac{1}{β} + 4 {(\frac{1}{β})}^{2} + 2 {(\frac{1}{β})}^{3} + {(\frac{1}{β})}^{4} = 0, \end{matrix}

tehát mindegyik gyök reciproka kielégíti a

\begin{matrix} g^{*} (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0 \end{matrix}

(5)

egyenletet, melynek együtthatói fordított sorrendben egyeznek (1) együtthatóival (a sorrend természetesen

x

fogyó hatványainak rendjében értendő). (5) valóban a keresett második egyenlet, mert gyökei csak az előírt számok, hiszen ha (5)-nek egy gyöke

γ

, akkor ugyanez a meggondolás mutatja, hogy

1 / γ

kielégíti (1)-et.
Mármost első meggondolásunkat (5)-re alkalmazva nyerjük, hogy a harmadik egyenlet:

\begin{matrix} {\bar{g}}^{*} (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 1 = 0. \end{matrix}

(6)

b) Képezzük elsőnek a

g (x) \cdot \bar{g} (x) = G_{1} (x)

szorzatot.

\bar{g} (x)

egymás utáni tagjaival

g (x)

-et végigszorozva a részletszorzatok ugyancsak

x

fogyó hatványai szerint rendezett polinomok lesznek, és legmagasabb fokú tagjuk fokszáma lépésről lépésre 1-gyel kisebb lesz. Ezt tudva célszerű lesz a részletszorzatokat ‐ a közönséges számok szorzásánál szokásos írásmódhoz hasonlóan ‐ lépcsőzetesen úgy rendezni, hogy

x

ugyanazon kitevős hatványai egy‐egy oszlopba jussanak. Így

x

hatványát minden oszlopban elég egyszer kiírni (pl. csak a felső tagban).

\begin{matrix} \underset{̲}{(x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1)} & (x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1) \\ x^{8} + 3 x^{7} + 4 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} \\ - 3 - 9 - 12 - 6 & - 3 x^{3} \\ + 4 + 12 + 16 & + 8 + 4 x^{2} \\ - 2 - 6 & - 8 - 4 - 2 x \\ + 1 & + 3 + 4 + 2 + 1 \\ G_{1} (x) = \bar{x^{8} - x^{6} + 6 x^{4}} & \bar{+ 4 x^{2} + 1} . \end{matrix}

A páratlan kitevős hatványok kiesése várható volt. Hiszen (1) gyökeit

β_{1}

β_{2}

β_{3}

β_{4}

-gyel jelölve (4) gyökei

- β_{1}

- β_{2}

- β_{3}

- β_{4}

, így gyöktényezős alakban

\begin{matrix} G_{1} (x) = g (x) \cdot g (x) & = (x - β_{1}) (x - β_{2}) (x - β_{3}) (x - β_{4}) \cdot \\ \cdot (x + β_{1}) (x + β_{2}) (x + β_{3}) (x + β_{4}) = \\ = (x^{2} - β_{1}^{2}) (x^{2} - β_{2}^{2}) (x^{2} - β_{3}^{2}) (x^{2} - β_{4}^{2}), \end{matrix}

és ezt polinommá kifejtve

x

-nek csak páros kitevős hatványai léphetnek fel.
A fentebbiek alapján nyilvánvaló, hogy a

g^{*} (x) \cdot {\bar{g}}^{*} (x) = G_{2} (x)

szorzatot

G_{1} (x)

-ből is megkaphatjuk, az együtthatókat fordított sorrendben véve, tehát

\begin{matrix} G_{2} (x) = x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} - x^{2} + 1. \end{matrix}

Ezekből (1) és a képezett három egyenlet bal oldalainak szorzata:

\begin{matrix} G_{1} (x) \cdot G_{2} (x) = x^{16} + 3 x^{14} + 8 x^{12} + 21 x^{10} + 55 x^{8} + 21 x^{6} + 8 x^{4} + 3 x^{2} + 1, \end{matrix}

és ez, amint várható volt,

x^{2}

-re nézve szimmetrikus polinom, hiszen minden gyökének

(- 1)

-szerese, reciproka és reciprokának

(- 1)

-szerese ugyancsak gyök, akárcsak (2)-ben (és minden gyök ugyanannyiszoros gyök), amint azt az 1113. feladatban láttuk.
Ezért ‐ ha az állítás igaz ‐ a meghatározandó további két egész együtthatós polinom szorzata ugyancsak

x^{2}

-re nézve szimmetrikus polinom lesz, fokszáma

20 - 16 = 4

, két szélső együtthatója 1, tehát

\begin{matrix} H (x) = x^{4} + A x^{2} + 1 \end{matrix}

alakú. Az

A

együttható meghatározása végett képezzük

G_{1} (x) \cdot G_{2} (x)

és

H (x)

szorzatát és kérdezzük, van-e olyan

A

, amelyre

\begin{matrix} G_{1} (x) \cdot G_{2} (x) \cdot H (x) \equiv f (x) . \end{matrix}

A szorzat a szimmetrikus tagoknak egy‐egy zárójelbe való foglalásával

\begin{matrix} (x^{20} + 1) + (3 + A) (x^{18} + x^{2}) + (9 + 3 A) (x^{16} + x^{4}) + (24 + 8 A) (x^{14} + x^{6}) + \\ + (63 + 21 A) (x^{12} + x^{8}) + (42 + 55 A) x^{10} . \end{matrix}

Az azonosság akkor és csak akkor áll fenn, ha valamennyi megfelelő együttható egyenlő:

\begin{matrix} 3 + A = 9 + 3 A = 24 + 8 A = 63 + 21 A = 0 és 42 + 55 A = - 123. \end{matrix}

Valamennyi feltételből

A = - 3

adódik, tehát

\begin{matrix} H x = x^{4} - 3 x^{2} + 1. \end{matrix}

Mármost

\begin{matrix} H (x) = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2} - x^{2} = \\ = (x^{2} - 1 - x) (x^{2} - 1 + x), & (7) \end{matrix}

tehát valóban írható két egész együtthatós polinom szorzata gyanánt. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Zalay Miklós (Budapest, XVIII., Hengersor úti Gimn. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Többen

H (x)

-nek két tényezőre bontása céljára megoldották a

H (x) = 0

egyenletet:

\begin{matrix} {(x^{2})}_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt[]{5}}{2}, \end{matrix}

és az irracionális gyökök láttán kimondták, hogy a kívánt felbontás lehetetlen, a feladat állítása téves.
Megmutatjuk, hogy kissé hosszabb úton ebből a kiindulásból is el lehet jutni a (7) eredményhez. Észrevéve, hogy

\begin{matrix} {(x^{2})}_{1} = \frac{3 - \sqrt[]{5}}{2} = \frac{6 - 2 \sqrt[]{5}}{4} = {(\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2})}^{2}, és hasonlóan \\ {(x^{2})}_{2} = {(\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2})}^{2}, \end{matrix}

H (x)

gyökei a következők:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}, x_{2} = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2}, x_{3} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}, x_{4} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

Ha a feladat állítása igaz, és a kérdéses két polinom másodfokú, akkor létezik ezeknek olyan két párba állítása, amelyben az összegek is és a szorzatok is egész számok. Ilyen az

x_{1}

x_{4}

, és

x_{2}

x_{3}

párosítás:

\begin{matrix} x_{1} + x_{4} = - 1, x_{1} x_{4} = - 1; x_{2} + x_{3} = 1, x_{2} x_{3} = - 1. \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{4}) = x^{2} + x - 1 és (x - x_{2}) (x - x_{3}) = x^{2} - x - 1, \end{matrix}

és így valóban

\begin{matrix} H (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) = (x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1) . \end{matrix}

2. Azt, hogy

G_{1} (x)

nem tartalmazhatja

x

páratlan kitevős hatványát, a tényezők

\begin{matrix} g (x) = (x^{4} + 4 x^{2} + 1) + x (3 x^{2} + 2) = K (x^{2}) + x L (x^{2}) és g (\bar{x}) = K (x^{2}) - x L (x^{2}) \end{matrix}

alakjából is beláthatjuk, ahol

K (x^{2})

és

L (x^{2})

x^{2}

polinomjai. Így ugyanis a szorzat

G_{1} (x) = K^{2} (x^{2}) - x^{2} L^{2} (x^{2})

, ami szintén

x^{2}

polinomja.