Kezdőlap


Feladat:	1111. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fazekas Patrik
Füzet:	1962/április, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 1111. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bővítsük a törtet $(1 - a b) (1 + c a)$ -val. (E szorzat 0-tól különböző, mert bármelyik tényezőjének eltűnése esetén a kifejezésnek sem volna értelme.) Így az előre is látható összevonások után megmaradó 4‐4 tag egyszerű kiemelésekkel 2‐2 kéttagú szorzatává alakítható. A számláló és nevező $1 + a^{2}$ közös tényezője biztosan pozitív, ezzel ismét egyszerűsíthetünk, tehát a kifejezés:

\begin{matrix} K = \frac{b + a^{2} c + c + a^{2} b}{1 - a^{2} b c - b c + a^{2}} = \frac{(b + c) (1 + a^{2})}{(1 - b c) (1 + a^{2})} = \frac{b + c}{1 - b c} . \end{matrix}

Innen látjuk, hogy

K

akkor sem volna értelmezve, ha

1 - b c = 0

volna. A kifejezésben kétszer előforduló

\begin{matrix} \frac{a + b}{1 - a b} = d és \frac{c - a}{1 + c a} = e \end{matrix}

(1)

hányadosok szerkezete, úgyszintén

K

-nak ezek beírásával adódó

\begin{matrix} K = \frac{d + e}{1 - d e} \end{matrix}

(2)

alakjáé, végül a fenti átalakítás eredményéé is ‐ egyaránt a tangens‐függvény addíciós képletét, a

\begin{matrix} tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y} \end{matrix}

(3)

azonosságot juttatja eszünkbe, amelyből a

tg (x - y)

-ra ismert azonosság

tg (- y) = - tg y

figyelembevételével adódik.
Ha tehát megkeressük azt a

- 90^{\circ}

és

90^{\circ}

közti

α

β

γ

szöget, amelyre

\begin{matrix} tg α = a, tg β = b, tg γ = c, \end{matrix}

(4)

akkor (1)-ből (3) figyelembevételével

\begin{matrix} d = \frac{tgα+tg β}{1 - tgα tgβ} = tg (α+β)   és  e= tg(γ-α). \end{matrix}

(5)

Ezeket (2)-be helyettesítve hasonlóan

\begin{matrix} K = \frac{tg (α+β)+tg (γ - α)}{1 - tg (α+β) tg (γ-α)} = tg[(α+β)+(γ-α)]= tg (β+γ). \end{matrix}

(6)

Innen (3) alapján való átalakítással, végül (4) alapján az eredeti jelölésekre visszatérve közbülső számítások nélkül jutunk el az eredeti átalakítás végeredményéhez.
Meg kell jegyeznünk, hogy az említett

α

β

γ

szög bármely

a

b

c

esetén létezik, mert az

y = tg x

függvény minden értéket felvesz. Ha azonban vagy

\begin{matrix} 1 - a b = 0, \end{matrix}

(7)

vagy

\begin{matrix} 1 + c a = 0 \end{matrix}

(8)

volna, vagy e két egyenlőség mindegyike teljesülne, akkor a goniometriai átalakítás sem érvényes. Valóban, (7)-ből

a b = 1

, így

a

és

b

egyike sem 0,

b = 1 / a

, vagyis

tgβ=ctg α

tehát

α

és

β

vagy pótszögek, összegük

90^{\circ}

, vagy

α + β = - 90^{\circ}

, és ezek tangense nincs értelmezve; hasonlóan (8) fennállása esetén

c = - 1 / a

tgγ=-ctg α =ctg (- α)

, tehát

γ + (- α) = \pm 90^{\circ}

, tehát (5)-nek nincs értelme. Ezekben az esetekben a goniometriai átalakítás sem kezdhető el, ‐ akárcsak az algebrai. És a megkezdett átalakítás nem fejezhető be (6)-tal, ha azt találjuk, hogy

β + γ = 90^{\circ}

, megfelelően az

1 - b c = 0

esetre vonatkozó kizáró megjegyzésünknek.

Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. II. o. t.)