Feladat: 1106. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bede Andrea ,  Butor László ,  Csákó György ,  Gáspár Rezső 
Füzet: 1962/január, 37 - 38. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/április: 1106. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előzetes megjegyzés. Az adott pont és az adott egyenesek ábrázolása alapján könnyű eldönteni a kérdést. Alább csak kizárólag számításon alapuló megoldásokat tekintünk. (Az ábra nem mérethű.)

 
 

I. megoldás. Ha egy P pont benne van egy háromszög belsejében, akkor a P-n át bármelyik oldalegyenessel párhuzamost húzva, ebből a másik két oldal által kimetszett szakasz tartalmazza P-t. Ha viszont az említett párhuzamosokkal kimetszett szakaszok valamelyike nem tartalmazza P-t, akkor P nincs benne a háromszögben.
Az adott esetben vegyük elsőnek az y=0 oldalegyenessel párhuzamos és P-n átmenő egyenest. Ennek egyenlete y=12,4, így a másik két egyenessel való metszéspontjának abszcisszái 27,625, ill. 26,8. Mindkettő nagyobb P abszcisszájánál, ezért máris kimondhatjuk, hogy P nincs benne a háromszögben.
 
Csákó György (Sátoraljaújhely, Kossuth L. g. III. o. t.)

 
Megjegyzés. Ha P abszcisszája a két abszcissza-érték közé esnék, ez még nem bizonyítaná, hogy P a háromszögben van, lehetne az x-tengelyt metsző oldalaknak közös csúcsukon túli meghosszabbításai közti szögtérben is.
 
II. megoldás. Ha P benne van az ABC háromszögben vagy rajta van a kerületén, de nem esik egybe A-val, akkor a PA és BC egyenesek metszéspontja B és C közé esik, esetleg az egyik végpontba. Vegyük A gyanánt az első két egyenes (40;19) metszéspontját. Így PA egyenlete 6,6x-24,8y+207,2=0, másrészt BC szerepét az y=0 egyenes kapja. Ez az első két egyenest a (4,375;0), ill. (2;0) pontban, AP-t pedig M (-207,2/6,6;0)-ban metszi. Az utóbbinak pontosabb kiszámítása nélkül is látjuk, hogy kívül esik az első kettő közti szakaszon, ezért P a háromszögre nézve nem belső pont.
 
Gáspár Rezső (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. III. o. t.)

 
Megjegyzés. A fenti ismertetőjelhez hasonló a következő: ha PAB∢>CAB∢, akkor P külső pont. Mármost A, B, C-nek rendre a (2;0), (4,375;0), (40;19) csúcsot véve tgPAB∢=12,4/13,2≈0,94, tgCAB∢=0,5, tehát P külső pont.
 
Butor László (Budapest, I. István g. IV. o. t.)

 

III. megoldás. Ha P a háromszög belsejében van, akkor bármely rajta átmenő egyenesből az oldalegyenesek olyan három pontot metszenek ki, amelyek közrezárják P-t. Tehát ha találunk P-n át olyan egyenest, amelyre ez nem teljesül, akkor P külső pont. Az adott esetben ilyen a P-n átmenő, az X tengelyre merőleges x=15,2 egyenes, mert az adott egyenesekkel való metszéspontjainak ordinátája 5,773, ill. 6,6, ill. 0; kisebbek P ordinátájánál, tehát P külső pont.
 
Bede Andrea (Budapest, Szilágyi Erzsébet lg. III. o. t.)