Kezdőlap


Feladat:	1105. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Zoltán , Garai Géza
Füzet:	1962/január, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/április: 1105. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás A keresett egyenes iránytangensét $m$ -mel jelölve az egyenlet

\begin{matrix} y = 3 + m (x - 5) . \end{matrix}

Így egyenesünk és a

\begin{matrix} 3 x + 4 y - p = 0 \end{matrix}

egyenlettel adott egyenes metszéspontjának abszcisszája

\begin{matrix} x = \frac{p + 20 m - 12}{4 m + 3}, \end{matrix}

tehát a kérdéses szakasz végpontjainak az

X

-tengelyen levő vetületei (

p = 16

, ill.

p = 1

-gyel) az

\begin{matrix} x_{1} = \frac{20 m + 4}{4 m + 3}, x_{2} = \frac{20 m - 11}{4 m + 3} \end{matrix}

pontok.

A szakasz hosszára

\begin{matrix} | x_{2} - x_{1} | = | \frac{15}{4 m + 3} | = 1 \end{matrix}

kétféleképpen teljesülhet:

x_{2} - x_{1} = - 1

-ből

m = 3

, és

x_{2} - x_{1} = 1

-ből

m = - 4, 5

. Ezekkel a kívánt egyenlet

\begin{matrix} y = 3 x - 12, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} y = - 4, 5 x + 25, 5. \end{matrix}

Garai Géza (Kaposvár, Táncsics M. g. II. o. t.)

II. megoldás. Az, hogy a vetület hossza 1 legyen, bármely a keresettel párhuzamos egyenesre teljesül, mert az adott két egyenes párhuzamos. Ezért a szakasz egyik végpontját az egyik egyenesen tetszés szerint választhatjuk. Legyen ez az első egyenesnek az

Y

-tengellyel alkotott metszéspontja:

(0; 4)

. Ekkor a másik végpont abszcisszája

+ 1

, vagy

- 1

, ordinátája pedig

\begin{matrix} y = \frac{1 - 3 x}{4} = - 0, 5, ill. 1, tehát az iránytangensek \\ \frac{4 - (- 0, 5)}{0 - 1} = - 4, 5, ill. \frac{4 - 1}{0 - (- 1)} = 3. \end{matrix}

Ez úton is az előző megoldás egyeneseihez jutottunk.

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. III. o. t.)