Kezdőlap


Feladat:	1104. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bellay Ágnes , Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Farkas Zoltán , Fukker G. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi I. , Homitzky L. , Huber T. , Katona Mária , Kóta J. , Kovács Imre (Békés) , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel J. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagy Ernő , Nováky Béla , Opálény M. , Sebestyén M. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Simonovits Miklós , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Szoboszlai Levente , Tattay Emőke , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalay M.
Füzet:	1962/január, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/április: 1104. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csonkakúp $V$ térfogatának ismert képletében csak a keresett $R$ és $r$ ( $R \geq r$ ) sugarak ismeretlenek, így

\begin{matrix} R^{2} + r^{2} + R r = \frac{3 V}{π m} = A . \end{matrix}

(1)

F

felszín képletében ezeken felül a palást

a

oldalvonala is fellép:

\begin{matrix} R^{2} + r^{2} + (R + r) a = \frac{F}{π} = B, \end{matrix}

de ez kifejezhető a sugarakkal és az

m

magassággal:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{{(R - r)}^{2} + m^{2}} . \end{matrix}

Ezt beírva, a négyzetgyököt tartalmazó tagot egyedül a bal oldalon hagyva, és az egyenletet négyzetre emelve

\begin{matrix} (R^{2} + r^{2} + 2 R r) (R^{2} + r^{2} - 2 R r + m^{2}) = {[B - (R^{2} + r^{2})]}^{2} . \end{matrix}

(2)

Tekintsük (1) és (2)-t az

\begin{matrix} R^{2} + r^{2} = u és R r = v \end{matrix}

ismeretlenekre vonatkozó egyenletrendszernek. Így

\begin{matrix} u + v = A, & (1') \\ (u + 2 v) (u - 2 v + m^{2}) = B^{2} - 2 B u + u^{2} . & (2') \end{matrix}

Innen

u

kiküszöbölése, majd rendezés után

\begin{matrix} (A + v) (A - 3 v + m^{2}) = B^{2} - 2 B (A - v) + {(A - v)}^{2}, \\ 4 v^{2} - (m^{2} - 2 B) v + (B^{2} - 2 A B - A m^{2}) = 0. & (3) \end{matrix}

Az egyenlet diszkriminánsa szorzattá alakítható:

\begin{matrix} {(m^{2} - 2 B)}^{2} - 16 (B^{2} - 2 A B - A m^{2}) = m^{4} - 4 B m^{2} - 12 B^{2} + 16 A (m^{2} + 2 B) = \\ = (m^{2} + 2 B) (m^{2} - 6 B + 16 A) . \end{matrix}

Így (3) gyökei

\begin{matrix} v = \frac{1}{8} [m^{2} - 2 B \pm \sqrt[]{(m^{2} + 2 B) (m^{2} + 16 A - 6 B)}] . \end{matrix}

Végül (

1'

) szerint

\begin{matrix} u = A - v = \frac{1}{8} [8 A + 2 B - m^{2} \mp \sqrt[]{(m^{2} + 2 B) (m^{2} + 16 A - 6 B)}] . \end{matrix}

Most már, a gyökös kifejezést

C

-vel jelölve

\begin{matrix} {(R + r)}^{2} = R^{2} + r^{2} + 2 R r = u + 2 v = A + v = A + \frac{1}{8} (m^{2} - 2 B \pm C), \\ {(R - r)}^{2} = u - 2 v = A - 3 v = A - \frac{3}{8} (m^{2} - 2 B \pm C), \end{matrix}

végül négyzetgyökvonással és a nyert egyenletek összeadásával, ill. kivonásával:

\begin{matrix} R = \frac{1}{2} [\sqrt[]{A + \frac{1}{8} (m^{2} - 2 B \pm C)} + \sqrt[]{A - \frac{3}{8} (m^{2} - 2 B \pm C)}], \\ r = \frac{1}{2} [\sqrt[]{A + \frac{1}{8} (m^{2} - 2 B \pm C)} - \sqrt[]{A - \frac{3}{8} (m^{2} - 2 B \pm C)}] . \end{matrix}

u

és

v

akkor és csak akkor valósak, ha (3) diszkriminánsában

\begin{matrix} m^{2} + 16 A \geq 6 B, \end{matrix}

és csak akkor vezethetnek a geometriai feladat megoldására, ha mindkettő pozitív és

u - 2 v \geq 0

. Ettől függően a feltételnek megfelelő

R

r

értékpárok száma 2, 1, vagy 0. A részletesebb diszkusszió bonyolult, tekintettel arra, hogy 3 paraméter kölcsönös nagyságviszonyáról van szó.

Tattay Emőke (Budapest, Kaffka Margit lg. IV. o. t.)
Szoboszlai Levente (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Többen

u

helyett

R + r

és más új ismeretlenek közbeiktatásával oldották meg a rendszert.