|
Feladat: |
1104. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bellay Ágnes , Benczúr András , Bollobás Béla , Csipka L. , Farkas Zoltán , Fukker G. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi I. , Homitzky L. , Huber T. , Katona Mária , Kóta J. , Kovács Imre (Békés) , Krámli András , Kunszt Z. , Lehel J. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagy Ernő , Nováky Béla , Opálény M. , Sebestyén M. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Simonovits Miklós , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Szoboszlai Levente , Tattay Emőke , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalay M. |
Füzet: |
1962/január,
35 - 36. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/április: 1104. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A csonkakúp térfogatának ismert képletében csak a keresett és () sugarak ismeretlenek, így Az felszín képletében ezeken felül a palást oldalvonala is fellép: de ez kifejezhető a sugarakkal és az magassággal: Ezt beírva, a négyzetgyököt tartalmazó tagot egyedül a bal oldalon hagyva, és az egyenletet négyzetre emelve | | (2) | Tekintsük (1) és (2)-t az ismeretlenekre vonatkozó egyenletrendszernek. Így
Innen kiküszöbölése, majd rendezés után
Az egyenlet diszkriminánsa szorzattá alakítható:
Így (3) gyökei | | Végül () szerint | |
Most már, a gyökös kifejezést -vel jelölve
végül négyzetgyökvonással és a nyert egyenletek összeadásával, ill. kivonásával:
és akkor és csak akkor valósak, ha (3) diszkriminánsában és csak akkor vezethetnek a geometriai feladat megoldására, ha mindkettő pozitív és . Ettől függően a feltételnek megfelelő , értékpárok száma 2, 1, vagy 0. A részletesebb diszkusszió bonyolult, tekintettel arra, hogy 3 paraméter kölcsönös nagyságviszonyáról van szó.
Tattay Emőke (Budapest, Kaffka Margit lg. IV. o. t.) Szoboszlai Levente (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Többen helyett és más új ismeretlenek közbeiktatásával oldották meg a rendszert. |
|