A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szám összes pozitív osztói: ; mértani sorozatot alkotnak, a hányados , a tagok száma , tehát összegük A szám összes pozitív osztói oszlopból és sorból álló táblázatba rendezhetők úgy, hogy az egy oszlopban álló osztókban kitevője ugyanaz, kitevője oszlopról oszlopra 0-tól 13-ig egyesével növekszik, ‐ az egy sorban álló osztókban pedig kitevője ugyanaz és kitevője növekszik 0-tól -ig.
Az első sorbeli osztók összege , a második sorbelieké , a harmadikbelieké , az utolsó sorbelieké , ennélfogva valamennyi osztó összege: | | ahol A szám összes pozitív osztóit úgy írhatjuk fel, hogy az (1) táblázat számait egy sorba írjuk, mindegyiknek alája írjuk -szeresét, majd -szeresét, , -szorosát. Összegüket előbb soronként képezve, majd a sorösszegeket összeadva a fentiekhez hasonlóan nyerjük
ahol | |
Nyilvánvaló, hogy és szorzatára nézve ‐ ha a , , -től különböző törzsszám, és pozitív egész szám, ‐ az osztók összege , ahol , és hasonlóan haladhatnánk tovább több prímszámhatvány szorzatára is. Mármost , és , ennélfogva osztóik összege: , ill. , egyenlők. Hasonlóan és -ből , végül és
osztóinak az összegét véve az egyes törzstényezők szóba jövő hatványainak összegét mindjárt törzsszámhatványok szorzataivá alakítva: , ill. ,
tehát mindkét megadott szám osztóinak az összege egyenlő -tel. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. A fordított feladat céljára a fentiekből látjuk, hogy valamely természetes szám összes pozitív osztóinak összege csak olyan szám lehet, amelyhez található vagy egyetlen törzsszám és kitevő úgy, hogy hatványainak összege a 0-iktól az -dikig összegül éppen az adott számot adja, vagy amely felbontható több ilyen, ‐ de különböző törzsszámokhoz tartozó ‐ számok szorzatára. Ezért az adott 72 és 399 számokra és minden osztójukra megoldjuk az egyenletet. Itt két ismeretlen van: és . Ezért célszerűen úgy járhatunk el, ha előbb az értékeket megválasztva a kapott első-, ill. másodfokú egyenlet gyökeit vizsgáljuk végig, hogy megfelelnek-e gyanánt, majd -t és hozzá -at választva képezzük (2) bal oldalát és megvizsgáljuk, melyik ilyen összeg szerepel az adott számok osztói között. 72-nek 2-nél nagyobb osztói | | (3) | (ugyanis ; egyébként emiatt nem adhat megoldást). Innen kitevővel, vagyis az egyenletből a törzsszámok jönnek szóba. Eszerint a 71 szám mindjárt megfelelő. Másrészt, alakú számokat keresve az egyenletből -ra jön szóba; ezek a 8 kivételével prímek, tehát a
felbontásokból adódó , , számok is megfelelnek. Hasonlóan az egyenletből és -mal -re jön szóba. Közülük csak , vagyis ad megoldást. Feltehetjük, hogy , így nyilvánvaló, hogy -mal hasonló megoldás már nincs, és hogy a keresett számnak négy- és többféle törzstényezője sem lehet. Hasonlóan osztói: | | (4) | valamennyi páratlan, ezért innen -gyel nem kapunk megfelelő számot, mert esetén páros. Így -et adó számban kitevővel csak szerepelhet. -vel az egyenlet pozitív gyöke A (3)-beli osztókkal a diszkrimináns csak esetében teljes négyzet, de innen , nem felel meg. A (4) értékekkel
amiből és 11 törzsszám. Mivel és 57 a 399-nek kapcsolt osztói (szorzatuk 399), azért a , és , -vel képezett számra . Másrészt -gyeI tehát ugyancsak megfelelő. Az kitevők mellett osztóinak összege , egyik sem szerepel (3) és (4)-ben. Hasonlóan -mal 40, 121 és 364, végül -tel 156 sem. Nagyobb törzsszámról nem lehet szó, mert már . Mindezek szerint az osztók összege gyanánt
számok esetében kapunk.
Katona Mária (Budapest, Szilágyi Erzsébet lg. Gimn., III. o. t.) Nagy Ernő (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.) |