|
Feladat: |
1102. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bellay Ágnes , Bollobás Béla , Bornes Klára , Csákó Gy. , Cserháti M. , Csipka L. , Csűrös M. , Fajszi Cs. , Farkas Zoltán , Fritsch I. , Gagyi-Pálffy A. , Gálfi l. , Glattfelder P. , Goldperger Katalin , Görbe T. , Horváth T. , Huber T. , Kálmán B. , Katona Éva , Kéry G. , Kiss Ildikó , Kóta J. , Krámli András , Lehel J. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagy Ernő , Nagy Géza , Nagypál B. , Náray-Szabó G. , Nováky Béla , Opálény M. , Pallós L. , Pór A. , Rácz L. , Renner G. , Sebestyén Z. , Simonovits Miklós , Sonnevend Gy. , Szabó Katalin (Balassagyarmat) , Székely Jenő , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Szirai J. , Ujvári Erzsébet , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P. |
Füzet: |
1962/január,
30 - 31. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/március: 1102. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) -t mindvégig -vel jelöljük. A keresett azonosságokat legegyszerűbben a kétszeres szög szögfüggvényeinek alapján nyerhetjük:
A törteket egyszerűsítettük -vel. Ezért a képletek minden -re érvényesek, kivéve ha ; ekkor sincs értelmezve. (3) és (4) valóban racionális kifejezései -nek. b) (1)-nek egy megoldása , , helyén , , -lel az 1085. feladat I. megoldásában szerepel. A megfelelő betűket beírva | | (5) | vagyis (1) bal oldalát kapjuk. Helyettesítsük másrészt (2)-be (3)-at és (4)-et. -nel szorozva rendezés után Innen
tehát (4)-ből
az (1) jobb oldalán álló kifejezés. (5)-öt és (6)-ot külön utakon nyertük, ezért még meg kell vizsgálnunk, hogy pl. (6)-ban a két négyzetgyököt jellel véve melyik jellel kell vennünk az (5)-beli négyzetgyököt. Ehhez elég egy numerikus próbát tennünk , , olyan értékhármasával, amelyre . Legyen pl. . Így (6) értéke 1, (5) értéke pedig a gyököt , ill. jellel véve 1, ill. 0. Eszerint a két kifejezés valóban akkor egyenlő, ha (5)-ben a gyököt jellel vesszük. Ujvári Erzsébet (Dombóvár, Gőgös I. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Többen (3)-hoz és (4)-hez a képlet alapján jutottak el. Így azonban esetében külön rá kell mutatni arra, hogy és előjele bármely -re megegyező. 2. -nál kisebb abszolút értékű szögekre az első állítást az alábbiak szerint is beláthatjuk. Az szöget () a szokásos módon a derékszögű koordinátarendszerbe illesztve legyen a nyugvó, ill. mozgó szárnak az egységkörön levő pontja , , és a pont . Ekkor , tehát a és a rá merőleges egyenes iránytangense , ill. , másrészt koordinátái , . -t a és egyenesek metszéspontjának tekintve koordinátái az egyenletrendszerből (4), ill. (3)-nak adódnak. Azt, hogy és a -vel racionálisan fejezhető ki, előre látjuk, hiszen nem fordul elő gyökjel alatt, a rendszer elsőfokú, és minden elsőfokú egyenletrendszer megoldása ‐ ha létezik ‐ a négy alapművelettel kiszámítható. Végül ábránkat az tengelyre tükrözve meggondolásunk a forgásokra is érvényesnek adódik.
Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.) K. M. L. 23 (1961) 131. o. |
|