Kezdőlap


Feladat:	1102. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bellay Ágnes , Bollobás Béla , Bornes Klára , Csákó Gy. , Cserháti M. , Csipka L. , Csűrös M. , Fajszi Cs. , Farkas Zoltán , Fritsch I. , Gagyi-Pálffy A. , Gálfi l. , Glattfelder P. , Goldperger Katalin , Görbe T. , Horváth T. , Huber T. , Kálmán B. , Katona Éva , Kéry G. , Kiss Ildikó , Kóta J. , Krámli András , Lehel J. , Máté A. , Máté E. , Molnár Emil , Nagy Ernő , Nagy Géza , Nagypál B. , Náray-Szabó G. , Nováky Béla , Opálény M. , Pallós L. , Pór A. , Rácz L. , Renner G. , Sebestyén Z. , Simonovits Miklós , Sonnevend Gy. , Szabó Katalin (Balassagyarmat) , Székely Jenő , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Szirai J. , Ujvári Erzsébet , Vesztergombi György , Vincze I. , Zalán P.
Füzet:	1962/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 1102. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) $tg x / 2$ -t mindvégig $t$ -vel jelöljük. A keresett azonosságokat legegyszerűbben a kétszeres szög szögfüggvényeinek alapján nyerhetjük:

\begin{matrix} cos x = cos^{2} \frac{x}{2} - sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{cos^{2} \frac{x}{2} - sin^{2} \frac{x}{2}}{cos^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{x}{2}} = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{x}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, & (3) \\ sin^{2} x = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{cos^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 tg \frac{x}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} . & (4) \end{matrix}

A törteket egyszerűsítettük

cos^{2} x / 2

-vel. Ezért a képletek minden

x

-re érvényesek, kivéve ha

cos x / 2 = 0

; ekkor

tg x / 2

sincs értelmezve. (3) és (4) valóban racionális kifejezései

t

-nek.
b) (1)-nek egy megoldása

A

B

C

helyén

J

K

L

-lel az 1085. feladat I. megoldásában szerepel¹. A megfelelő betűket beírva

\begin{matrix} sin x = \frac{A C \pm B \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}}}{A^{2} + B^{2}}, \end{matrix}

(5)

vagyis (1) bal oldalát kapjuk. Helyettesítsük másrészt (2)-be (3)-at és (4)-et.

1 + t^{2}

-nel szorozva rendezés után

\begin{matrix} (B + C) t^{2} - 2 A t + (C - B) = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} t = \frac{A \pm \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}}}{B + C}, \\ t^{2} = \frac{2 A^{2} + B^{2} - C^{2} \pm 2 A \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}}}{{(B + C)}^{2}}, \end{matrix}

tehát (4)-ből

\begin{matrix} sin x = \frac{2 (B + C) (A \pm \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}})}{{(B + C)}^{2} + 2 A^{2} + B^{2} - C^{2} \pm 2 A \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}}} = \\ = \frac{(B + C) (A \pm \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}})}{A^{2} + B^{2} + B C \pm A \sqrt[]{A^{2} + B^{2} - C^{2}}}, & (6) \end{matrix}

az (1) jobb oldalán álló kifejezés.
(5)-öt és (6)-ot külön utakon nyertük, ezért még meg kell vizsgálnunk, hogy pl. (6)-ban a két négyzetgyököt

+

jellel véve melyik jellel kell vennünk az (5)-beli négyzetgyököt. Ehhez elég egy numerikus próbát tennünk

A

B

C

olyan értékhármasával, amelyre

A^{2} + B^{2} - C^{2} \neq 0

. Legyen pl.

A = B = C = 1

. Így (6) értéke 1, (5) értéke pedig a gyököt

+

, ill.

-

jellel véve 1, ill. 0. Eszerint a két kifejezés valóban akkor egyenlő, ha (5)-ben a gyököt

+

jellel vesszük.
Ujvári Erzsébet (Dombóvár, Gőgös I. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Többen (3)-hoz és (4)-hez a

\begin{matrix} tg \frac{x}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos x}{1 + cos x}} \end{matrix}

képlet alapján jutottak el. Így azonban

sin x

esetében külön rá kell mutatni arra, hogy

sin x

és

tg x / 2

előjele bármely

x

-re megegyező.

180^{\circ}

-nál kisebb abszolút értékű szögekre az első állítást az alábbiak szerint is beláthatjuk. Az

α

szöget (

0^{\circ} < α < 180^{\circ}

) a szokásos módon a derékszögű koordinátarendszerbe illesztve legyen a nyugvó, ill. mozgó szárnak az egységkörön levő pontja

A

B

, és a

(- 1,0)

pont

C

. Ekkor

B C A ∢ = α / 2

, tehát a

C B

és a rá merőleges

A B

egyenes iránytangense

tg α / 2 = t

, ill.

- 1 / t

, másrészt

B

koordinátái

x = cos α

γ = sin α

B

-t a

C B

és

A B

egyenesek metszéspontjának tekintve koordinátái az

\begin{matrix} y = t (x + 1), y = - \frac{1}{t} (x - 1) \end{matrix}

egyenletrendszerből (4), ill. (3)-nak adódnak. Azt, hogy

x

és

y

t

-vel racionálisan fejezhető ki, előre látjuk, hiszen

t

nem fordul elő gyökjel alatt, a rendszer elsőfokú, és minden elsőfokú egyenletrendszer megoldása ‐ ha létezik ‐ a négy alapművelettel kiszámítható.
Végül ábránkat az

X

tengelyre tükrözve meggondolásunk a

- 180^{\circ} < α < 0^{\circ}

forgásokra is érvényesnek adódik.

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)

¹K. M. L. 23 (1961) 131. o.