Kezdőlap


Feladat:	1101. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lehel Jenő , Lippai Pál , Molnár Emil , Sonnevend György
Füzet:	1962/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Fizikai jellegű feladatok, Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 1101. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Azt kell megmutatnunk, hogy $O T = O T^{*} = t$ , $O F = f$ és $O K = O K^{*} = k$ eleget tesznek a domború lencse törvényének. Húzzuk meg $T^{*}$ -on át a tengellyel párhuzamos egyenest, messe ez $O K^{*}$ meghosszabbítását $C$ -ben. Így az $O C T^{*}$ szög egyállású $F O K^{*}$ -gal, $O T^{*} C$ és $T^{*} O F$ váltószögek, ezért a szerkesztés 1. lépésénél fogva $O T^{*} C$ egyenlő oldalú háromszög, és $O C = C T^{*} = O T^{*} = t$ . Másrészt $K^{*} O F$ és $K^{*} C T^{*}$ hasonló helyzetű háromszögek, ezért

\begin{matrix} C T^{*} : O F = C K^{*} : O K^{*}, azaz \\ t : f = (t + k) : k . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} f (t + k) = t k, \end{matrix}

(1)

végül

f t k

-val osztva

\begin{matrix} \frac{1}{k} + \frac{1}{t} = \frac{1}{f}, \end{matrix}

a lencsetörvény szokásos alakját kaptuk. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Sonnevend György (Celldömölk, Berzsenyi D. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Lényegében ugyanígy oldjuk meg a feladatot, ha

T^{*}

-on át

O K^{*}

-gal húzunk párhuzamost és ennek a tengellyel való metszéspontját

D

-vel jelölve a

K^{*} O F

és

T^{*} D F

háromszögek hasonlóságából számolunk. ‐ A bizonyítás úgy is érvényes, ha

T^{*}

és

K^{*}

-ból szerepük cseréjével

C

-t képezzük.

Lippai Pál (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)

2. Szorosan véve az eljárás csak addig helyes, amíg

T

távolabb van a lencsétől, mint a maga oldalán levő

F'

fókusz, vagyis amíg róla a lencse valódi képet állít elő. Ha

T

F'

-ben van, vagyis

t = f

, akkor

T^{*} F

párhuzamos a

K^{*}

szerkesztésében használt (a második) félegyenessel, így

C^{*}

nem létezik. Ha pedig

T

F' O

szakaszon van, akkor

T^{*} F

a második félegyenes meghosszabbítását metszi. Ekkor

K

-t úgy kapjuk helyesen, ha

K^{*}

-ot a tengelynek

F'

-t tartalmazó oldalára forgatjuk (látszólagos, ,,nagyított'' kép).

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. IV. o. t.)

3. Az eljárás homorú tükörre is érvényes azzal a módosítással, hogy

K^{*}

-ot a fentiekkel ellentétes féltengelyre forgatjuk.
4. Ábránk tulajdonképpen a lencsetörvény pontsoros nomogramja. (Lásd Kürschák ‐ Hajós ‐ Neukomm ‐ Surányi: Matematikai versenytételek I. 91. o. Tankönyvkiadó 1955. Középisk. Szakköri Füzetek.)

II. megoldás. Az

O T^{*} F

és

O F K^{*}

háromszögek 2-szeres területének összege egyenlő az

O T^{*} K^{*}

háromszög 2-szeres területével:

\begin{matrix} t f sin 60^{\circ} + f k sin 60^{\circ} = t k sin 120^{\circ} . \end{matrix}

amiből

sin 120^{\circ} = sin 60^{\circ}

-kal egyszerűsítve (1)-re jutunk.

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)