Kezdőlap


Feladat:	1098. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Tamás
Füzet:	1962/január, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 1098. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy mind az $x$ , mind az $y$ kitevő alatt álló két alap egymásnak reciproka, tehát a megfelelő hatványok is egymás reciprokai. Így az első egyenlet két tagja helyett az $5^{x} = u$ , $0, 1^{y} = v$ ismeretleneket bevezetve egyenletrendszerünk, mindjárt némi átalakítással így írható:

\begin{matrix} u + v = 9, \\ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{v + u}{u v} = \frac{9}{u v} = 0, 5, u v = 18. \end{matrix}

Ismerjük tehát

u

és

v

összegét és szorzatát. Ezekből

u

és

v

\begin{matrix} z^{2} - 9 z + 18 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei:

z_{1} = 6

z_{2} = 3

.
Legyen először

5^{x} = u = z_{1} = 6

és

0, 1^{y} = v = z_{2} = 3

. Innen 10 alapú logaritmust véve

\begin{matrix} x_{1} = lg 6 : lg 5 \approx 0, 7782 : 0, 6990 \approx 1, 113 és \\ y_{1} = lg 3 : lg 0, 1 \approx 0, 4771 : (- 1) = - 0, 4771. \end{matrix}

Ha pedig

5^{x} = u = z_{2} = 3

és

0, 1^{y} = v = z_{1} = 6

, akkor

\begin{matrix} x_{2} = lg 3 : lg 5 \approx 0, 4771 : 0, 6990 \approx 0, 6826, \\ y_{2} = lg 6 : lg 0, 1 = - lg 6 \approx - 0, 7782. \end{matrix}

Bán Tamás (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.)