Kezdőlap


Feladat:	1096. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fukker Gábor , Náray Szabó Gábor , Zalay Miklós
Füzet:	1962/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékosztályok, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 1096. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Írjuk a nevezőket törzsszám-szorzat alakjában és hozzuk közös nevezőre a kifejezést:

\begin{matrix} \frac{3^{2 n}}{2^{4} \cdot 7} - \frac{4^{2 n}}{3^{2} \cdot 7} + \frac{5^{2 n}}{2^{4} \cdot 3^{2}} = - \frac{9 \cdot 3^{2 n} - 16 \cdot 4^{2 n} + 7 \cdot 5^{2 n}}{2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7} . \end{matrix}

Eszerint elég azt megmutatnunk, hogy a számláló osztható

2^{4}

-nel,

3^{2}

-nel és 7-tel, ‐ ezek ugyanis egymáshoz relatív prímek. Ehhez átalakítjuk a számlálót és felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy ha

a

b

egész számok és

n

természetes szám, akkor

a^{n} - b^{n}

osztható

a - b

-vel:

a^{n} - b^{n} = (a - b) M

, ahol

M

egész szám. Így a számláló egyrészt

\begin{matrix} (16 - 7) 3^{2 n} + 7 \cdot 5^{2 n} - 16 \cdot 4^{2 n} = 7 (25^{n} - 9^{n}) - 16 (16^{n} - 9^{n}) = \\ = 7 (25 - 9) M_{1} - 16 (16 - 9) M_{2} = 16 \cdot 7 (M_{1} - M_{2}) = 2^{4} \cdot 7 \cdot M_{3}, ‐ másrészt \\ 9 \cdot 3^{2 n} - (9 + 7) 4^{2 n} + 7 \cdot 5^{2 n} = 9 (3^{2 n} - 4^{2 n}) + 7 (25^{n} - 16^{n}) = 9 M_{4} + \\ + 7 (25 - 16) M_{5} = 9 (M_{4} + 7 M_{5}) = 3^{2} M_{6} . \end{matrix}

Ha pedig

n = 0

, akkor a kifejezés értéke 0, egész szám. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Fukker Gábor (Győr, Czuczor G. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A fenti oszthatóság

n \geq 1

esetére az

(a^{n} - b^{n}) : (a - b)

osztás

\begin{matrix} a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1} \end{matrix}

hányadosának kiírásával egyetlen átalakításban mutatható meg. A számláló

\begin{matrix} 9 \cdot 9^{n} - 9 \cdot 16^{n} - 7 \cdot 16^{n} + 7 \cdot 25^{n} = 9 \cdot 7 (\frac{25^{n} - 16^{n}}{9} - \frac{16^{n} - 9^{n}}{7}) = \\ = 9 \cdot 7 [(25^{n - 1} + 25^{n - 2} \cdot 16 + ... + 16^{n - 1}) - (16^{n - 1} + 16^{n - 2} \cdot 9 + ... + 9^{n - 1})] . \end{matrix}

A szögletes zárójel minden közbülső tagja osztható 16-tal, ugyanígy az első és utolsó tag különbsége is.
Náray Szabó Gábor (Budapest, József A. g. IV. o. t.)

2. Többen kongruenciák felhasználásával bizonyították az állítást.

II. megoldás. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk.

n = 0

-ra és

n = 1

-re a kifejezés értéke 0, egész szám, az állítás igaz. Feltesszük, hogy

\begin{matrix} k > 0, egész  és N_{k} = \frac{3^{2 k}}{112} - \frac{4^{2 k}}{63} + \frac{5^{2 k}}{144} egész, \end{matrix}

és megmutatjuk, hogy

N_{k + 1}

ugyancsak egész. Valóban

\begin{matrix} N_{k + 1} = \frac{3^{2 (k + 1)}}{112} - \frac{4^{2 (k + 1)}}{63} + \frac{5^{2 (k + 1)}}{144} = \frac{9 \cdot 3^{2 k}}{112} - \frac{16 \cdot 4^{2 k}}{63} + \frac{25 \cdot 5^{2 k}}{144} = \\ = 9 (\frac{3^{2 k}}{112} - \frac{4^{2 k}}{63} + \frac{5^{2 k}}{144}) + \frac{16 \cdot 5^{2 k}}{144} - \frac{7 \cdot 4^{2 k}}{63} = 9 N_{k} + \frac{5^{2 k} - 4^{2 k}}{9} = \\ = 9 N_{k} + \frac{25^{k} - 16^{k}}{25 - 16}, \end{matrix}

és az utolsó alak második tagja a fentiek szerint egész szám.
Zalay Miklós (Budapest, XVIII. Hengersor úti ált. g. III. o. t.)