A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Írjuk -et alakban, ahol és egészek, . Így | | akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha osztható vele. értékeinek behelyettesítése mutatja, hogy az oszthatóság csak mellett áll fenn. Mármost -mal | | és innen látjuk, hogy semmilyen egész mellett sem osztható 169-cel. Konkoly Károly (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.)
II. megoldás. A ,,169'' szám négyzetszám: , ezért célszerű lesz kiegészíteni az adott kifejezésben az -et tartalmazó tagokat teljes négyzetté. Kényelmesebb ezt -val végezni el. Ha ez nem osztható 169-cel, akkor sem. | |
Ha volna olyan , amely mellett osztható volna 169-cel, akkor 13-mal is osztható volna. második tagja, osztható 13-mal, azért azokra és csak azokra az -ekre osztható 13-mal, amelyekre osztható vele. Mivel pedig 13 törzsszám, azért akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha osztható vele. Ilyenkor a tag 169-cel osztható, a tag viszont nem osztható 169-cel, ezért valóban egyetlen egész mellett sem osztható 169-cel, s így sem.
Megjegyzés. Számos megoldás más módokon alakította -t, de semmivel nem indokolta, miért éppen a kérdéses alakítást használta. Ilyenek: ‐, (a két tényező ugyanazon mellett osztható 13-ma1, mert különbségük 13). ‐, (itt esetén a második tag 169-cel osztható, viszont nem osztható vele; ha pedig és így , akkor csak 13-mal osztható. Az előbbi alak olyan , , egész számok meghatározását kívánja, amelyekkel , tehát , másrészt . Így adódott , és .
III. megoldás. A feladat állításával egyenértékű a következő: ha osztható 169-cel, akkor nem egész szám. Tegyük fel, hogy valamely egész számmal teljesül | | A diszkrimináns | | osztható 13-mal, de -nel nem, tehát nem lehet teljes négyzet. Ezzel állításunkat igazoltuk. Cserháti Miklós (Budapest, Petőfi S. g. IV. o. t.)
|