Kezdőlap


Feladat:	1095. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cserháti Miklós , Konkoly Károly
Füzet:	1962/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Maradékosztályok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 1095. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Írjuk $n$ -et $n = 13 a + b$ alakban, ahol $a$ és $b$ egészek, $0 \leq b \leq 12$ . Így

\begin{matrix} K = 169 a^{2} + 13 a (2 b + 7) + b^{2} + 7 b - 4 \end{matrix}

akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha

b^{2} + 7 b - 4

osztható vele.

b

értékeinek behelyettesítése mutatja, hogy az oszthatóság csak

b = 3

mellett áll fenn. Mármost

b = 3

-mal

\begin{matrix} K = 169 a^{2} + 169 a + 26 = 169 a (a + 1) + 26 \end{matrix}

és innen látjuk, hogy

K

semmilyen egész

a

mellett sem osztható 169-cel.
Konkoly Károly (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.)

II. megoldás. A ,,169'' szám négyzetszám:

13^{2}

, ezért célszerű lesz kiegészíteni az adott

K

kifejezésben az

n

-et tartalmazó tagokat teljes négyzetté. Kényelmesebb ezt

4 K

-val végezni el. Ha ez nem osztható 169-cel, akkor

K

sem.

\begin{matrix} 4 K = 4 n^{2} + 28 n - 16 = {(2 n + 7)}^{2} - 65. \end{matrix}

Ha volna olyan

n

, amely mellett

4 K

osztható volna 169-cel, akkor 13-mal is osztható volna.

4 K

második tagja,

- 65

osztható 13-mal, azért

4 K

azokra és csak azokra az

n

-ekre osztható 13-mal, amelyekre

{(2 n + 7)}^{2}

osztható vele. Mivel pedig 13 törzsszám, azért

{(2 n + 7)}^{2}

akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha

2 n + 7

osztható vele. Ilyenkor a

{(2 n + 7)}^{2}

tag 169-cel osztható, a

- 65

tag viszont nem osztható 169-cel, ezért

4 K

valóban egyetlen egész

n

mellett sem osztható 169-cel, s így

K

sem.

Megjegyzés. Számos megoldás más módokon alakította

K

-t, de semmivel nem indokolta, miért éppen a kérdéses alakítást használta. Ilyenek:

K = (n + 10) (n - 3) + 26

‐, (a két tényező ugyanazon

n

mellett osztható 13-ma1, mert különbségük 13).

K = {(n - 3)}^{2} + 13 (n - 1)

‐, (itt

n - 1 = 13 k

esetén a második tag 169-cel osztható, viszont

n - 3 = 13 k - 2

nem osztható vele; ha pedig

n - 3 = 13 k

és így

{(n - 3)}^{2} = 169 k^{2}

, akkor

13 (n - 1)

csak 13-mal osztható.
Az előbbi alak olyan

c

d

e

egész számok meghatározását kívánja, amelyekkel

(n + c) (n + d) + e = n^{2} + 7 n - 4

, tehát

c + d = 7

, másrészt

c - d = 13

. Így adódott

c = 10

d = - 3

és

e = 26

III. megoldás. A feladat állításával egyenértékű a következő: ha

K

osztható 169-cel, akkor

n

nem egész szám. Tegyük fel, hogy valamely

k

egész számmal teljesül

\begin{matrix} n^{2} + 7 n - 4 = 169 k, és így n^{2} + 7 n - (169 k + 4) = 0. \end{matrix}

A diszkrimináns

\begin{matrix} D = 49 + 4 (169 k + 4) = 13 (4 \cdot 13 k + 5) . \end{matrix}

osztható 13-mal, de

13^{2}

-nel nem, tehát nem lehet teljes négyzet. Ezzel állításunkat igazoltuk.
Cserháti Miklós (Budapest, Petőfi S. g. IV. o. t.)