A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek a félegyenesek , , , közös pontjuk , az érintő gömb középpontja , és az érintési pontok rendre , , , tehát , , . 1. ábra Egy külső pontból a gömbhöz húzott érintők egyenlők: , ezért a , , háromszögek egybevágó szabályos háromszögek, és a gúla szabályos tetraéder. is, is egyenlő távol van és től, így benne vannak az szakasz felező merőleges síkjában. Ezért a egyenes merőleges -re, hasonlóan -ra is, tehát merőleges az ezekkel meghatározott síkra. Így rajta van a tetraéder -ből húzott magasságvonalán. Ennek talppontját, az szabályos háromszög középpontját -val és a szakaszt -vel jelölve egyenlő a oldalú szabályos háromszög magasságának részével, tehát hossza . Így a és derékszögű háromszögek hasonlóságából és innen, mivel , azért a keresett távolság .
Ghihor Zoltán (Kaposvár, Táncsics M. g. III. o. t.) | Megjegyzés. Ugyanezzel a meggondolással akkor is megkaphatjuk az érintő gömb középpontja és a félegyenesek közös pontja közti távolságot, ha bármelyik két félegyenes közti szög , és . Ekkor
Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. III. o. t.) | II. megoldás. Vegyük észre, hogy az egységnyi élű kocka egy csúcsából kiinduló 3 lapbeli átló és a szemben fekvő csúcs körül írt egységsugarú gömb az adottal egybevágó alakzatot alkot. 2. ábra Ugyanis a kocka bármely két közös végponttal bíró lapbeli átlója közti szög , mert bármelyik csúcsból kiinduló 3 él végpontjai egymástól lap‐átlónyi távolságra vannak, és így szabályos háromszöget alkotnak. Másrészt a gömb érinti a középpontján át nem menő 3 kockalapot, az érintési pontok a középponttal szomszédos kockacsúcsok. Éppen ezek a csúcsok az említett lapbeli átlók nem közös végpontjai, így a gömb ezeket az átlókat is érinti. Így a keresett távolság egyenlő a kocka testátlójával, amelynek hossza .
Tomcsányi Gyula (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.) |
|