Kezdőlap


Feladat:	1094. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ghihor Zoltán , Tomcsányi Gyula , Zalán Péter
Füzet:	1961/december, 210 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 1094. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a félegyenesek $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , közös pontjuk $C$ , az érintő gömb középpontja $O$ , és az érintési pontok rendre $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , tehát $O E_{1} ⊥ C E_{1}$ , $O E_{2} ⊥ C E_{2}$ , $O E_{3} ⊥ C E_{3}$ .

1. ábra

Egy külső pontból a gömbhöz húzott érintők egyenlők:

C E_{1} = C E_{2} = C E_{3}

, ezért a

C E_{1} E_{2}

C E_{2} E_{3}

C E_{3} E_{1}

háromszögek egybevágó szabályos háromszögek, és a

C E_{1} E_{2} E_{3}

gúla szabályos tetraéder.

O

is,

C

is egyenlő távol van

E_{1}

és

E_{2}

től, így benne vannak az

E_{1} E_{2}

szakasz felező merőleges síkjában. Ezért a

C O

egyenes merőleges

E_{1} E_{2}

-re, hasonlóan

E_{1} E_{3}

-ra is, tehát merőleges az ezekkel meghatározott

E_{1} E_{2} E_{3}

síkra. Így

O

rajta van a tetraéder

C

-ből húzott magasságvonalán. Ennek talppontját, az

E_{1} E_{2} E_{3}

szabályos háromszög középpontját

K

-val és a

C E_{1}

szakaszt

c

-vel jelölve

K E_{1}

egyenlő a

c

oldalú szabályos háromszög

c \sqrt[]{3 / 2}

magasságának

2 / 3

részével, tehát hossza

c \sqrt[]{3}

. Így a

C O E_{1}

és

C E_{1} K

derékszögű háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} C O : O E_{1} = C E_{1} : E_{1} K = c : c / \sqrt[]{3} \end{matrix}

és innen, mivel

O E_{1} = 1

, azért a keresett távolság

C O = \sqrt[]{3}

Ghihor Zoltán (Kaposvár, Táncsics M. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Ugyanezzel a meggondolással akkor is megkaphatjuk az érintő gömb középpontja és a félegyenesek közös pontja közti távolságot, ha bármelyik két félegyenes közti szög

α

, és

α < 120^{\circ}

. Ekkor

\begin{matrix} C O = \frac{\sqrt[]{3}}{2 sin \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. III. o. t.)

II. megoldás. Vegyük észre, hogy az egységnyi élű kocka egy csúcsából kiinduló 3 lapbeli átló és a szemben fekvő csúcs körül írt egységsugarú gömb az adottal egybevágó alakzatot alkot.

2. ábra

Ugyanis a kocka bármely két közös végponttal bíró lapbeli átlója közti szög

60^{\circ}

, mert bármelyik csúcsból kiinduló 3 él végpontjai egymástól lap‐átlónyi távolságra vannak, és így szabályos háromszöget alkotnak. Másrészt a gömb érinti a középpontján át nem menő 3 kockalapot, az érintési pontok a középponttal szomszédos kockacsúcsok. Éppen ezek a csúcsok az említett lapbeli átlók nem közös végpontjai, így a gömb ezeket az átlókat is érinti.
Így a keresett távolság egyenlő a kocka testátlójával, amelynek hossza

\sqrt[]{3}

Tomcsányi Gyula (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.)