Kezdőlap


Feladat:	1093. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hamar Norbert , Rattai Zsuzsanna
Füzet:	1961/december, 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 1093. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az azonosság mindkét oldala $x = (2 k + 1) 90^{\circ}$ kivételével ‐ ahol $k$ egész szám ‐ minden $x$ -re értelmezve van. Írjuk a bal oldal mindegyik tagjában $sin x$ helyére a $tg x cos x$ szorzatot. Így $tg x$ kiemelésével, $cos x sec x = 1$ figyelembevételével és a $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ azonosság kétszeri felhasználásával a bal oldal így alakul:

\begin{matrix} tg x cos^{2} x + sin^{2} x tg x cos^{2} x + sin^{4} x tg x cos x sec x = \\ = tg x [cos^{2} x + sin^{2} x (cos^{2} x + sin^{2} x)] = tg x [cos^{2} x + sin^{2} x] = tg x . \end{matrix}

Eszerint az azonosság helyes.

Hamar Norbert (Szentendre, Móricz Zs. g. III. o. t.)

II. megoldás. Igyekezzünk a két oldal különbségét úgy alakítani, hogy 0-val való egyenlősége nyilvánvaló legyen.

sec x = 1 / cos x

és

tg x = sin x / cos x

, majd

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

beírásával a különbség így alakul:

\begin{matrix} \frac{sin x (1 + sin^{2} x) cos^{2} x + (sin^{5} x - sin x)}{cos x} = \\ = \frac{sin x (1 + sin^{2} x) (1 - sin^{2} x) - sin x (1 - sin^{4} x)}{cos x}, \end{matrix}

és erről már nyilvánvaló, hogy 0-val egyenlő.

Rattai Zsuzsanna (Kecskemét, Katona J. g. III. o. t)