Kezdőlap


Feladat:	1091. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gálfi László , Knuth Előd , Nováky Béla
Füzet:	1962/április, 145 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Körök, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 1091. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a körök rendre $k_{a}$ , $k_{b}$ , $k_{c}$ , közös középpontjuk $O$ , sugaruk $O A_{1} = r_{a}$ , $O B_{1} = r_{b}$ ill. $O C_{1} = r_{c}$ ; nyilvánvaló, hogy $r_{a} > r_{b} > r_{c}$ . A keresett szelő egy pontját tetszés szerint választhatjuk, legyen ez $C_{1}$ a $k_{c}$ -n. $C_{1}$ az $A_{1} B_{2}$ szakasz belsejében van, ez az előírt aránnyal együtt azt jelenti, hogy $A_{1}$ -et $C_{1}$ -től $b : a$ arányban távolítva, egyszersmind $C_{1}$ körül $180^{\circ}$ -kal elforgatva $B_{2}$ -be jutunk. Eszerint $B_{2}$ -t $k_{b}$ -ből azzal a $k_{1}$ körrel metszhetjük ki, amely $k_{a}$ -ból $C_{1}$ körüli $180^{\circ}$ szögű és $b : a$ arányú forgatva nyújtással áll elő.

Ennek alapján a szerkesztés a következő: egy a

C_{1}

-en átmenő és

C_{1} O

-tól különböző egyenesre

C_{1}

két oldalára felmérjük az

a

b

szakaszokat; legyen a két végpont

D

, ill.

E

, továbbá az

O C_{1}

félegyenesnek

k_{a}

-n levő pontja

F

. Párhuzamost húzunk

E

-n át

O D

-vel és

D F

-fel; legyen az

O C_{1}

-gyel való metszéspontjuk

O_{1}

ill.

F_{1}

. Ekkor az

O_{1}

körül

O_{1} F_{1}

sugárral írt kör

k_{1}

, ennek

k_{b}

-vel való metszéspontja

B_{2}

, a keresett szelő

C_{1} B_{2}

, és ebből

A_{1}

-et a

D

-n átmenő,

E B_{2}

-vel párhuzamos egyenes metszi ki.
Ugyanis

C_{1}

szétválasztja a

D

E

, az

O

O_{1}

és az

F

F_{1}

pontpárokat, ezért az

E O_{1}

és

D O

, valamint

E F_{1}

és

D F

félegyenesek ellentétes irányúak, tehát az

O_{1} E F_{1}

és

O D F

szögek váltószögek, továbbá a

C_{1} E O_{1}

és

C_{1} D O

, valamint

C_{1} E F_{1}

és

C_{1} D F

hasonló helyzetű háromszög párokból

\begin{matrix} E O_{1} : D O = b : a = E F_{1} : D F . \end{matrix}

Így az

O_{1} E F_{1}

és

O D F

háromszögek hasonlóságából

O_{1} F_{1} : O F = b : a

, másrészt

O_{1} C_{1} : O C_{1} = b : a

, tehát az

O_{1}

körül

O_{1} F_{1}

sugárral írt kör valóban a fenti

k_{1}

. Továbbá a

C_{1} D A_{1}

háromszög hasonló

C_{1} E B_{2}

-höz, ezért

C_{1} A_{1} : C_{1} B_{2} = C_{1} D : C_{1} E = a : b

, tehát

A_{1}

, mint a

k_{1}

-en levő

B_{2}

-nek megfelelője a fenti forgatva nyújtás megfordításában, rajta van

k_{a}

-n. (Ezt tudva a végrehajtás

D A_{1}

egyenese mellőzhető.)
A

B_{2}

metszéspont létrejön, ha az

O B_{2}

O O_{1}

és

O_{1} F_{1}

szakaszokból lehet háromszöget szerkeszteni. Mármost

O O_{1} = O C_{1} + C_{1} O_{1} = r_{c} + b r_{c} / a = (a + b) r_{c} / a

, másrészt

O_{1} F_{1} = b r_{a} / a

, ezért ‐

a

-t és

b

-t csupán arányszámoknak tekintve és mindhárom szakaszt

a

-val szorozva ‐ az

\begin{matrix} a r_{b}, b r_{a}, (a + b) r_{c} \end{matrix}

(1)

szakaszoknak kell a háromszög‐egyenlőtlenséget teljesíteniük.
Ha valódi háromszög jön létre, akkor

k_{1}

2 pontban metszi

k_{b}

-t, de a két megoldás nem lényegesen különböző, mert

O C_{1}

-re, mint tengelyre tükrösek. Ha a háromszög egyenes szakasszá fajul el, akkor

k_{1}

érinti

k_{b}

-t, tehát

B_{2}

O C_{1}

-en adódik.
Azonban

B_{2}

csak akkor lesz a szelőnek és

k_{b}

-nek

C_{1}

-től (és

A_{1}

-től) távolabbi,

C_{1}

-ből ,,nem látható'' metszéspontja, ha a

k_{c}

-hez

C_{1}

-ben húzott érintőnek azon az oldalán van, mint

O

, más szóval az

O_{1}

-gyel ellentétes oldalon. Kell tehát, hogy az érintő és

k_{b}

metszéspontját

G

-vel jelölve

O_{1} G^{2} < O_{1} B_{2}^{2}

, azaz

\begin{matrix} C_{1} O_{1}^{2} + C_{1} G^{2} = C_{1} O_{1}^{2} + O G^{2} - O C_{1}^{2} < O_{1} F_{1}^{2}, vagyis \\ \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot r_{c}^{2} + r_{b}^{2} - r_{c}^{2} < \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot r_{a}^{2} . & (2) \end{matrix}

Ha (1) fennáll, de (2) nem, akkor

k_{1}

és

k_{b}

metszéspontja a

B_{1}

szerepét játssza.

Gálfi László (Budapest, I. István Gimn. III. o. t)

Megjegyzések. 1. Kiindulásul

A_{1}

-et vagy

B_{2}

-t rögzítve lényegében ugyanilyen szerkesztéssel érünk célhoz. ‐ (2) így is írható:

\begin{matrix} \frac{r_{b}^{2} - r_{c}^{2}}{r_{a}^{2} - r_{c}^{2}} < \frac{b^{2}}{a^{2}}, vagyis \frac{C_{1} G}{C_{1} H} < \frac{b}{a}, \end{matrix}

ahol

H

a felhasznált érintőnek

k_{a}

-val való metszéspontja. Ehhez szemlélet útján is eljuthatunk. A keresett szelő

i

irányát megválasztva induljunk ki az

O

-n átmenő

i

irányú szelőből, majd távolítsuk ezt

O

-tól mindaddig, amíg van közös pontja

k_{c}

-vel, vagyis míg érinti

k_{c}

-t. Eközben ‐ a szemlélet szerint ‐

A_{1} C_{1}

állandóan növekszik és legnagyobb értéke az érintő helyzetben

H C_{1}

, viszont

C_{1} B_{2}

állandóan csökken és legkisebb értéke a véghelyzetben

C_{1} G

. Ezek szerint, ha van megoldás, akkor a számlálót csökkentve, majd a nevezőt növelve a hányados értéke mindkét lépésben kisebbnek adódik, tehát

\begin{matrix} \frac{b}{a} = \frac{C_{1} B_{2}}{A_{1} C_{1}} > \frac{C_{1} G}{A_{1} C_{1}} > \frac{C_{1} G}{H C_{1}} . \end{matrix}

Knuth Előd (Budapest, I. István Gimn. IV. o. t.)

2. Ugyaninnen adódik, hogy

C_{1} B_{2}

legnagyobb értéke

r_{c} + r_{b}

A_{1} C_{1}

legkisebb értéke

r_{a} - r_{c}

, tehát

B_{2}

létrejövésének feltétele

\begin{matrix} \frac{b}{a} < \frac{r_{c} + r_{b}}{r_{a} - r_{c}}, amiből b r_{a} - a r_{b} < (a + b) r_{c} . \end{matrix}

Ezzel lényegében (1)-et ismételtük meg. Ugyanis a háromszög‐egyenlőtlenség másik részét mellőzhetjük, hiszen az

a r_{b}

és

b r_{a}

,,oldalak'' összege

r_{a} > r_{b} > r_{c}

folytán nagyobb a harmadik oldalnál:

\begin{matrix} a r_{b} + b r_{a} > a r_{c} + b r_{c} = (a + b) r_{c} . \end{matrix}

II. megoldás. Mérjük fel ‐ köreink síkjában bárhol ‐ az

A_{1}^{*} C_{1}^{*} = a

szakaszt, ennek meghosszabbítására a

C_{1}^{*} B_{2}^{*} = b

szakaszt és keressünk olyan

O^{*}

pontot, hogy az

A_{1}^{*}

C_{1}^{*}

B_{2}^{*}

O^{*}

pontnégyes hasonló legyen a keresett

A_{1}

C_{1}

B_{2}

O

pontnégyeshez.

Ez fennáll ha

\begin{matrix} \frac{O^{*} A_{1}^{*}}{O^{*} C_{1}^{*}} = \frac{O A_{1}}{O C_{1}} = \frac{r_{a}}{r_{c}} = λ' és \frac{O^{*} C_{1}^{*}}{O^{*} B_{2}^{*}} = \frac{O C_{1}}{O B_{2}} = \frac{r_{c}}{r_{b}} = λ'' . \end{matrix}

Ismeretes, hogy e feltételeknek (külön‐külön) eleget tevő

O^{*}

pontok mértani helye egy‐egy kör, pl. az első feltételre nézve az

A_{1}^{*}

és

C_{1}^{*}

alappontokhoz és a

λ' (\neq 1)

aránymutatóhoz tartozó ún. Apollóniosz‐kör, melynek egy

M' N'

átmérőjét az

A_{1}^{*} C_{1}^{*}

egyenesnek azok az

M'

N'

pontjai tűzik ki, melyekre

\begin{matrix} A_{1}^{*} M' : M' C_{1}^{*} = A_{1}^{*} N' : N' C_{1}^{*} = λ' és A_{1}^{*} M' + M' C_{1}^{*} = A_{1}^{*} N' - C_{1}^{*} N' = A_{1}^{*} C_{1}^{*} . \end{matrix}

(3)

M'

belső osztópont az

A_{1}^{*} C_{1}^{*}

szakaszon, az

N'

külső osztópont pedig

λ' > 1

miatt a

C^{*} B_{2}^{*}

félegyenesen van. (Hasonlóan a

C_{1}^{*} B_{2}^{*}

szakasz külső osztópontja a

C_{1}^{*} A_{1}^{*}

félegyenesen van, mert

0 < λ'' < 1

. A kör középpontja ugyancsak a

C_{1}^{*} B_{2}^{*}

félegyenesen van.)
E két kör megszerkeszthető, egyik közös pontjuk megfelel

O^{*}

gyanánt. Ennek alapján egy megfelelő

A_{1}

C_{1}

pontpárt azok az

O

-ból kiinduló félegyenesek metszenek ki

k_{a}

, ill.

k_{c}

-ből, amelyek párhuzamosak és egyirányúak az

O^{*} A_{1}^{*}

, ill.

O^{*} C_{1}^{*}

félegyenessel, a szelőt pedig

A_{1}

és

C_{1}

összekötésével kapjuk.
A szerkesztés helyességének bizonyítását az olvasókra bízzuk. A diszkusszióhoz is csak megjegyezzük, hogy

O^{*}

létrejön, ha mindegyik külső osztópont kívül esik a másik körön, vagy a kerületén van. A sorrend akkor lesz megfelelő, ha az

O^{*} C_{1}^{*} A_{1}^{*}

szög nem hegyesszög, vagyis

O^{* 2} A_{1}^{*} \geq O^{*} C_{1}^{* 2} + A_{1}^{*} C_{1}^{* 2}

. Lényegében 1, vagy 0 megoldás van.

Nováky Béla (Budapest, I. István Gimn. III. o. t.)

Megjegyzés. A szerkesztés egy egyszerű végrehajtása:

A_{1}^{*}

C_{1}^{*}

B_{2}^{*}

-tó1 a rajtuk át húzott tetszés szerinti irányú párhuzamos egyenesekre az

A_{1}^{*} C_{1}^{*}

egyenes egyik oldalán felmérjük

r_{a}

-t,

r_{c}

-t,

r_{b}

-t, továbbá a

C_{1}^{*}

-on átmenő egyenes másik oldalára is

r_{c}

-t. A végpontokat

A'

C'

B'

C''

-vel jelölve a fenti

M'

N'

M''

N''

osztópontokat

A_{1}^{*} C_{1}^{*}

-bó1 rendre az

A' C''

A' C'

B' C''

B' C'

egyenesek metszik ki.