Kezdőlap


Feladat:	1089. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr A. , Bollobás B. , Demendy Z. , Fajszi Cs. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi László , Kéry G. , Kiss Ildikó , Knuth E. , Kóta J. , Méder L. F. , Náray-Szabó G. , Nováky B. , Opálény M. , Sebestyén Z. , Seprődi L. , Simonovits M. , Sonnevend Gy. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Tóth V. , Vesztergombi Gy. , Vincze I.
Füzet:	1961/december, 207 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 1089. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott $x$ , $y$ értékek esetén (2) és (3)-ból ki kellene számítanunk $u$ és $v$ lehetséges értékeit, majd ezeket minden lehetséges módon párokba kapcsolva (1) alapján ki kellene számítanunk $z$ értékét. Ez után adhatnánk választ, hogy hány különböző $z$ értéket kaptunk. ‐ Ezt a vizsgálatot általában kell elvégeznünk.
A (2) és (3)-ból adódó

\begin{matrix} u^{2} - x u + 1 = 0, ill & (2') \\ v^{2} - y v + 1 = 0 & (3') \end{matrix}

egyenletből

u

-ra, ill.

v

-re:

\begin{matrix} u_{1,2} = \frac{x \pm \sqrt[]{x^{2} - 4}}{2}, ill. v_{1,2} = \frac{y \pm \sqrt[]{y^{2} - 4}}{2} . \end{matrix}

Ezek az

| x | \geq 2

| y | \geq 2

feltevés miatt valósak. A különböző gyökök száma

| x | \geq 2

, ill.

| y | \geq 2

esetén kettő,

| x | = 2

, ill.

| y | = 2

esetén egy. Mindkét egyenletben a két gyök egymás reciproka, mert (2

'

) és (3

'

) állandó tagjaiból

u_{1} u_{2} = 1

, és

v_{1} v_{2} = 1

. (Innen azt is látjuk, hogy

u_{1}

u_{2}

v_{1}

v_{2}

egyike sem 0.) Így a szóba jövő értékek:

\begin{matrix} | x | > 2 esetén: u_{1} és \frac{1}{u_{1}}; & | y | > 2 esetén: v_{1} és \frac{1}{v_{1}}; \\ | x | = 2 esetén: u_{1} = \frac{x}{2}; & | y | = 2 esetén: v_{1} = \frac{y}{2} . \end{matrix}

Ezek szerint az egymástól különböző

u

v

értékpárok a következők:

α) | x | > 2

és

| y | > 2

esetén: I (

u_{1}, v_{1}

), II

(u_{1}, \frac{1}{v_{1}})

, II

' (\frac{1}{u_{1}}, v_{1})

, I

' (\frac{1}{u_{1}}, \frac{1}{v_{1}})

;

β) | x | > 2

és

| y | = 2

esetén: III

(u_{1}, \frac{y}{2})

, III

' (\frac{1}{u_{1}}, \frac{y}{2})

; ahol

\frac{y}{2}

vagy

+ 1

, vagy

- 1

;

γ) | x | = 2

és

| y | > 2

(\frac{x}{2}, v_{1})

, esetén: IV

' (\frac{x}{2}, \frac{1}{v_{1}})

; ahol

\frac{x}{2}

vagy

+ 1

, vagy

- 1

;

δ) | x | = 2

és

| y | = 2

esetén:

(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})

,
ahol

x \neq y

miatt

\frac{x}{2}

vagy

+ 1

vagy

- 1

\frac{y}{2}

pedig

- 1

, ill.

+ 1

Ezek az értékpárok nem minden esetben adnak különböző

z

értékeket, mert pl. a II

'

értékpár tagjai rendre a II tagjainak reciprokai, ezért II

'

behelyettesítésekor ugyanazt a két tagot kapjuk, mint II-ből, csak fordított sorrendben, ugyanis

\begin{matrix} u_{1} \cdot \frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{u_{1} \cdot \frac{1}{v_{1}}} = \frac{1}{u_{1}} \cdot v_{1} + \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \cdot v_{1}} = \frac{u_{1}}{v_{1}} + \frac{v_{1}}{u_{1}} . \end{matrix}

Ugyanez a kapcsolat áll fenn I és I

'

, III és III

'

, IV és IV

'

között, ezért

z

α)

esetben legfeljebb 2 különböző értéket vehet fel, a

β) - δ)

esetekben csak 1 értéket.
Az

α)

esetben I és II-ből

\begin{matrix} z_{1} = u_{1} v_{1} + \frac{1}{u_{1} v_{1}}, z_{2} \frac{u_{1}}{v_{1}} + \frac{v_{1}}{u_{1}} . \end{matrix}

Ezek különbözők, mert különbségük így alakítható:

\begin{matrix} z_{1} - z_{2} = u_{1} (v_{1} - \frac{1}{v_{1}}) - \frac{1}{u_{1}} (v_{1} - \frac{1}{v_{1}}) = (u_{1} - \frac{1}{u_{1}}) (v_{1} - \frac{1}{v_{1}}), \end{matrix}

és ez csak akkor 0, ha az

u_{1} = 1 / u_{1}

és

v_{1} = 1 / v_{1}

egyenlőségeknek legalább az egyike fennáll. Ekkor viszont

| u_{1} | = 1

, ill.

| v_{1} | = 1

, így (2)-ből

| x | = 2

, ill. (3)-ból

| y | = 2

, tehát a

β) - δ)

esetek valamelyikével állnánk szemben. ‐ A keresett másodfokú egyenlet céljára összegük és szorzatuk így írható:

\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = u_{1} (v_{1} + \frac{1}{v_{1}}) + \frac{1}{u_{1}} (\frac{1}{v_{1}} + v_{1}) = (u_{1} + \frac{1}{u_{1}}) (v_{1} + \frac{1}{v_{1}}) = x y, \\ z_{1} z_{2} = u_{1}^{2} + \frac{1}{v_{1}^{2}} + v_{1}^{2} + \frac{1}{u_{1}^{2}} = {(u_{1} + \frac{1}{u_{1}})}^{2} - 2 + {(v_{1} + \frac{1}{v_{1}})}^{2} - 2 = x^{2} + y^{2} - 4, \end{matrix}

tehát a keresett egyenlet:

\begin{matrix} z^{2} - (z_{1} + z_{2}) z + z_{1} z_{2} = z^{2} - x y z + x^{2} + y^{2} - 4 = 0. \end{matrix}

(4)

β)

esetben

\begin{matrix} y & = 2 mellett z = u_{1} + \frac{1}{u_{1}} = x, \\ y & = - 2 mellett z = - u_{1} - \frac{1}{u_{1}} = - x, \end{matrix}

tehát az egyenlet vagy

z - x = 0

, vagy

z + x = 0

.
Hasonlóan a

γ)

esetben a

z - y = 0

, vagy

z + y = 0

egyenletre jutunk.
Végül a

δ)

esetben

z = (+ 1) (- 1) + \frac{1}{(+ 1) (- 1)} = - 2

, vagyis az egyenlet

z + 2 = 0

.
Az

x \neq y

megszorítás csak a

δ)

esetet érinti. Ha ugyanis

x = y \neq \pm 2

, akkor az I és II értékpárok is és a belőlük adódó

z

értékek is különbözők.

Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A

β) - δ)

esetekben nyert egyenleteket (4)-ből is megkaphatjuk

y

, vagy

x

, vagy mindkettőjük helyére

+ 2

-t, vagy

- 2

-t írva. (4)-nek minden ilyen esetben (és csak ilyenkor) kétszeres gyöke van, mert diszkriminánsa

\begin{matrix} x^{2} y^{2} - 4 x^{2} - 4 y^{2} + 16 = x^{2} (y^{2} - 4) - 4 (y^{2} - 4) = (x^{2} - 4) (y^{2} - 4) = 0, \end{matrix}

tehát ilyenkor (4) bal oldala az egyetlen 0-helyhez tartozó gyöktényező négyzete. Mivel pedig a keresett egyenletnek nem lehet kétszeres gyöke, azért (4) bal oldalának négyzetgyökét tesszük 0-val egyenlővé. Pl.

y = - 2

-vel

\begin{matrix} z^{2} + 2 x z + x^{2} = {(z + x)}^{2} = 0 helyett: z + x = 0. \end{matrix}

'

)