A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vegyük észre, hogy az együtthatók összege 0, vagyis az szám gyöke az egyenletnek. Továbbá páros és páratlan kitevős hatványai együtthatóinak összege külön‐külön is 0, eszerint is gyök. A talált és nem függ -tól. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. A további két gyök vizsgálata céljára osszuk az egyenlet bal oldalát a talált gyökökhöz tartozó gyöktényezők szorzatával: | | Eszerint a további gyökök az egyenlet gyökei. Ezek akkor valósak, ha a diszkrimináns nem negatív:
Eszerint nem eshet és közé, a keresett feltétel: és .
Bácsy Zsolt (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.) | II. megoldás. (A feladat . részére.) A -t tartalmazó tagokat különválasztva az egyenlet: | | A -tól független gyöknek egyrészt 0-vá kell tennie a -val szorzott polinomot, másrészt a -t nem tartalmazó tagokból álló polinomot is. Mivel | | azért a -t tartalmazó rész csak és mellett tűnik el. Ezekkel a -t nem tartalmazó rész is eltűnik, tehát ezek az egyenlet -tól független gyökei.
Kerényi Ilona (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. III. o. t.) | III. megoldás. (A feladat . részére.) A -tól független gyök csak azok közül a gyökök közül kerülhet ki, amelyeket a egy tetszés szerint választott értékével adódó egyenletből kapunk. Célszerű -at választani, mert így és együtthatója 0, és az egyenlet másodfokúra redukálható: . Innen , , az előbbiből , az utóbbiból adódó gyökpár nem valós. és a értékétől függetlenül kielégíti az egyenletet.
Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. III. o. t.) | Megjegyzés. A feladat eredetileg hibásan közölt alakjában a -t tartalmazó részt 0-vá tevő számok mellett a -t nem tartalmazó rész nem tűnt el. Az így nyilvánvalóan szükséges helyesbítés úgyis elképzelhető volt, ha az utolsó tagban helyett -t írunk. Ekkora további két gyök az egyenletből adódik és ezek valósak, ha , vagy ha .
Méder László Ferenc (Kolozsvár [Cluj], ,,Ady‐Sincai'' középiskola X. o.t.) |
|