Kezdőlap


Feladat:	1088. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zsolt , Farkas Zoltán , Kerényi Ilona , Méder László Ferenc
Füzet:	1961/december, 206 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 1088. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük észre, hogy az együtthatók összege 0, vagyis az $x_{1} = 1$ szám gyöke az egyenletnek. Továbbá $x$ páros és páratlan kitevős hatványai együtthatóinak összege külön‐külön is 0, eszerint $x_{2} = - 1$ is gyök. A talált $x_{1}$ és $x_{2}$ nem függ $k$ -tól. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
A további két gyök vizsgálata céljára osszuk az egyenlet bal oldalát a talált gyökökhöz tartozó gyöktényezők $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ szorzatával:

\begin{matrix} \frac{x^{4} - (k + 3) x^{3} - (k - 11]) x^{2} + (k + 3) x + (k - 12)}{x^{2} - 1} = x^{2} - (k + 3) x - (k - 12) . \end{matrix}

Eszerint a további gyökök az

\begin{matrix} x^{2} - (k + 3) x - (k - 12) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Ezek akkor valósak, ha a diszkrimináns nem negatív:

\begin{matrix} D = {(k + 3)}^{2} + 4 (k - 12) = k^{2} + 10 k - 39 = {(k + 5)}^{2} - 64 = \\ = (k + 5 - 8) (k + 5 + 8) = (k - 3) (k + 13) \geq 0. \end{matrix}

Eszerint

k

nem eshet

- 13

és

+ 3

közé, a keresett feltétel:

k \leq - 13

és

k \geq 3

Bácsy Zsolt (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.)

II. megoldás. (A feladat

1

. részére.) A

k

-t tartalmazó tagokat különválasztva az egyenlet:

\begin{matrix} x^{4} - 3 x^{3} + 11 x^{2} + 3 x - 12 - k (x^{3} + x^{2} - x - 1) = 0. \end{matrix}

k

-tól független gyöknek egyrészt 0-vá kell tennie a

k

-val szorzott polinomot, másrészt a

k

-t nem tartalmazó tagokból álló polinomot is. Mivel

\begin{matrix} x^{3} + x^{2} - x - 1 = x^{2} (x - 1) - (x + 1) = (x^{2} - 1) (x + 1) = (x - 1) {(x + 1)}^{2}, \end{matrix}

azért a

k

-t tartalmazó rész csak

x = 1

és

x = - 1

mellett tűnik el. Ezekkel a

k

-t nem tartalmazó rész is eltűnik, tehát ezek az egyenlet

k

-tól független gyökei.

Kerényi Ilona (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. III. o. t.)

III. megoldás. (A feladat

1

. részére.) A

k

-tól független gyök csak azok közül a gyökök közül kerülhet ki, amelyeket a

k

egy tetszés szerint választott értékével adódó egyenletből kapunk. Célszerű

k = - 3

-at választani, mert így

x^{3}

és

x

együtthatója 0, és az egyenlet másodfokúra redukálható:

x^{4} + 14 x^{2} - 15 = 0

. Innen

{(x^{2})}_{1} = 1

{(x^{2})}_{2} = - 15

, az előbbiből

x_{1,2} = \pm 1

, az utóbbiból adódó gyökpár nem valós.

x_{1}

és

x_{2}

k

értékétől függetlenül kielégíti az egyenletet.

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat eredetileg hibásan közölt alakjában a

k

-t tartalmazó részt 0-vá tevő

x_{1,2} = \pm 1

számok mellett a

k

-t nem tartalmazó rész nem tűnt el. Az így nyilvánvalóan szükséges helyesbítés úgyis elképzelhető volt, ha az utolsó tagban

k - 12

helyett

k - 2

-t írunk. Ekkora további két gyök az

x^{2} - (k + 3) x - (k - 2) = 0

egyenletből adódik és ezek valósak, ha

k \leq - 5 - \sqrt[]{24}

, vagy ha

k \geq - 5 + \sqrt[]{24}

Méder László Ferenc (Kolozsvár [Cluj], ,,Ady‐Sincai'' középiskola X. o.t.)