|
Feladat: |
1084. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Békési G. , Benczúr A. , Bollobás B. , Butor L. , Csipka L. , Dömötör Gy. , Gálfi l. , Grüner Gy. , Juhász I. , Katona Mária , Kéry G. , Knuth E. , Kóta J. , Kunszt Z. , Lippai P. , Máté A. , Molnár Emil , Nagy Csaba , Nagy Ernő , Opálény M. , Pór A. , Simonovits M. , Szegö Károly , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Vesztergombi Gy. , Vincze I. |
Füzet: |
1961/december,
203 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Súlyvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1961/január: 1084. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. A szokásos jelölésekkel a feltétel , azaz . Feltehetjük, hogy , ugyanis mellett , vagyis a háromszög egyenlőtlenség nem teljesül. Legyen az oldal felezőpontja , a -ből húzott magasság talppontja ‐ ekkor , ‐, a vizsgálandó hegyes szög , végül . 1. ábra A , és derékszögű háromszögekből:
Írjuk (3) felhasználásával (1) és (2)-t így:
és szorozzuk össze a megfelelő oldalakat:
A bal oldalnak pozitívnak kell lennie, tehát . Így a derékszögű háromszögben a befogóval szemben levő szög a kisebb hegyes szög, s így . Ezt kellett bizonyítanunk. 2. Ha az háromszög hegyesszögű, akkor a csúcs kívül van az átmérőjű körön, tehát , továbbá a talppont az szakasz belsejében van, tehát . Levonva (3)-ból (4)-nek -szeresét, az első követelmény szerint | | és így Ahhoz, hogy -re alsó korlátot kapjunk, (4)-et átalakítjuk, beírva az , összefüggést. Ekkor -nel átosztva kapjuk, hogy | | (5) | Így az feltételből, felhasználva a összefüggést és (5)-öt | | Innen az aláhúzott részben egyszerűsítéssel és a pozitív -vel átszorozva az egyenlőtlenség iránya nem változik: A bal oldal akkor válik 0-vá, ha , ennek alapján a bal oldalt szorzattá alakítva | | végül mivel az első tényező pozitív: | | azért , és . Ezek szerint a feltételt teljesítő hegyesszögű háromszögben .
Szidarovszky Ágnes (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. III. o. t.) | II. megoldás. (a feladat . részére). Tekintsük azt a kört, amely átmegy -n és az oldalt -ben érinti (1. ábra). Legyen középpontja , -vel való második metszéspontja . Ekkor egyrészt a kör szelőjére és érintőjére vonatkozó tétel, másrészt a feltevés alapján ennélfogva . Legyen tükörképe felező merőlegesére, vagyis -ra , ekkor a -n van, továbbá . Nem lehet, hogy egybeessék -vel, mert , ezért és tükrös pár -ra. Így
vagyis . Ezért az ugyanazon oldalán levő és pontokból ugyanakkora szögben látszik, tehát rajta van az háromszög körülírt körén. A szimmetria miatt a kör ívének -től legtávolabbi pontja, tehát közelebb van -hoz, mint . Megrajzolva -nak -vel párhuzamos és egyirányú sugarát, az ív kisebb az negyedkörívnél, és így az ezeken fekvő és kerületi szögekre . Ezt kellett bizonyítanunk.
Molnár Emil (Győr, Révai M. g. IV. o. t.) | III. megoldás. (a feladat . részére). Mérjük rá a szakaszt az oldal -n túli meghosszabbítására, legyen a végpont . Rajzoljuk meg az háromszög körülírt körét, legyen ez és a középpontja , továbbá -nek -n átmenő, -re merőleges húrját (2. ábra). 2. ábra Így felezi a húrt, továbbá az és háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők. Ezért . Felhasználva ezt, szerkesztését és a feltevést, nyerjük: | | Innen , tehát , és mivel egyenlő hosszú húrok egyenlő távolságra vannak a középponttól, azért . Így a háromszög egyenlő szárú, és . A háromszög egyenlő szárú és rajta van a tengelyén, ezért a egyenes felezi a szöget. Így
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Szegő Károly (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Az utolsó lépésből hegyes szögű háromszög esetén -re a következő becslés is adódik: | | Ez valamivel rosszabb, mint amit az I. megoldásban kaptunk.
|
|