A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az adott egyenest -vel, az adott kört -lal, középpontját -val, sugarát -lal, és legyen egy a -t és -t érintő kör , középpontja , sugara , érintkezési pontja -lal , -vel . Tekintsük az középpont körül sugárral írt kört. Fel fogjuk használni, hogy érinti az két oldalán, tőle távolságban húzott párhuzamosok egyikét. Állításunkat és kölcsönös helyzete, valamint és külső vagy belső érintkezése szerint külön‐külön bizonyítjuk. I. Legyen -nak -től való távolsága nagyobb, mint . Ekkor minden pontja az -vel kettévágott sík egyik félsíkján van. Legyen ez , a másik félsík pedig . Az érintés miatt csak az félsíkban lehet. 1. ábra a) Ha és, kívülről érintik egymást (1. ábra), akkor . Így átnyúlik -be, az félegyenesen levő pontja az -ben van, -től távolságban. Ezért a -ot -ban érintő egyenes azonos az -ben, -től távolságban húzott párhuzamos egyenessel. Eszerint egyenlő távolságban van -tól és től, így csak azon parabolán lehet, melynek fókusza , és irányvonala . E parabola minden pontja -en van és -on kívül, mert -nak -től való távolsága , és a parabola csúcsa -től is, -től is fele ekkora, vagyis -nál nagyobb távolságra van, márpedig a parabola pontjai közül a csúcs van legközelebb a fókuszhoz és az irányvonalhoz. Fordítva, legyen a egy pontja, -n és -n levő vetülete , ill. , és a szakasznak -on levő pontja . Így , és , ezért az körül sugárral írt kör érinti -t és -t, tehát pontja a keresett mértani helynek. 2. ábra b) Ha viszont és belülről érintik egymást (2. ábra), akkor magába foglalja -t, és így , mert az ellentétes esetben belsejében volna -beli pont, ti. . Eszerint , és így -nak az sugáron levő pontja távolságra van -től, és pedig azon a félsíkon, mint , vagyis -en. Tehát az -ban érinti az -től távolságra levő egyenest. Ezekből a fentiekhez hasonlóan látjuk, hogy azon a parabolán van, melynek fókusza , irányvonala , továbbá hogy e parabola minden pontja a mértani helyhez tartozik. Ezek szerint, ha nem metszi -t, akkor a keresett mértani helyet az a két parabola, és alkotja, melyek fókusza , irányvonaluk pedig az két oldalán távolságban húzott párhuzamos. 3. ábra II. Ha érinti -t -ben (3. ábra), akkor minden az -t -ben érintő kör megfelelő, tehát az -re -ben állított merőleges része a mértani helynek. ‐ Ha nem -ben érinti -t, akkor és vele is -en van, -t tartalmazó félsíkon. Továbbá a -n kívül van, ezért és csak kívülről érinthetik egymást. Így I. a) meggondolásunk itt is érvényes, a mértani helyet és alkotja, az pont kivételével ( egybeesik csúcsával. a parabola elfajulásának tekinthető, mert átmegy -n.) III. Ha és metszik egymást és -ben, akkor és mindkét félsíkon lehet. 4. ábra a) és külső érintkezése esetén (4. ábra) , ezért a -t nem tartalmazó félsíkon van, mindenesetre és valamelyikén, tehát a és valamelyikének pontja. De itt és -nek csak a -on kívüli pontjai jönnek tekintetbe. Mivel és mindkét parabolán rajta van, hiszen , , -től való távolságuk , azért a parabolák metszik -t, és így ívük itt nem jön tekintetbe. Látni fogjuk viszont, hogy és belső érintkezése esetén számára csak és -nek íve jön tekintetbe. Ilyenkor ugyanis magába foglalja -t (5. ábra), mert az ellentétes esetben -nak mindkét oldalán volna pontja, ami lehetetlen. 5. ábra Így benne van -ban, és . Ekkor -nak az az pontja van , vagy -n, amelyet az sugár -en túli meghosszabbítása metsz ki, mert erre . Eszerint itt gyanánt valóban csak a vagy -n, egyszersmind belsejében levő pontok szerepelhetnek. A fentiekhez hasonlóan lehet megmutatni, hogy és kivételével és minden pontjához tartozik a követelményeknek megfelelő kör; és -höz 0-sugarú, csak tágabb értelemben vett kör tartozik. Ezek szerint a mértani helyet itt is és alkotja, és kivételével.
Marton Dénes (Budapest, Kölcsey F. g. IV. o. t.) | Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.) | Megjegyzés. A megoldások zöme koordinátageometriai úton kapta a mértani helyet. Bollobás Béla (Bp., Apáczai Csere J. g.) és Gálfi László (Bp., I. István g.) térbeli, kúpok érintkezését felhasználó megoldást is adtak. |