Kezdőlap


Feladat:	1083. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Gálfi László , Kéry Gerzson , Marton Dénes
Füzet:	1961/december, 201 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 1083. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott egyenest $e$ -vel, az adott kört $k_{0}$ -lal, középpontját $O$ -val, sugarát $r_{0}$ -lal, és legyen egy a $k_{0}$ -t és $e$ -t érintő kör $k$ , középpontja $M$ , sugara $r$ , érintkezési pontja $k_{0}$ -lal $T$ , $e$ -vel $U$ . Tekintsük az $M$ középpont körül $M O = r^{*}$ sugárral írt $k^{*}$ kört. Fel fogjuk használni, hogy $k^{*}$ érinti az $e$ két oldalán, tőle $r_{0}$ távolságban húzott párhuzamosok egyikét. Állításunkat $e$ és $k_{0}$ kölcsönös helyzete, valamint $k$ és $k_{0}$ külső vagy belső érintkezése szerint külön‐külön bizonyítjuk.
I. Legyen $O$ -nak $e$ -től való $d$ távolsága nagyobb, mint $r_{0}$ . Ekkor $k_{0}$ minden pontja az $e$ -vel kettévágott sík egyik félsíkján van. Legyen ez $F_{1}$ , a másik félsík pedig $F_{2}$ . Az érintés miatt $k$ csak az $F_{1}$ félsíkban lehet.

1. ábra

a) Ha

k

és,

k_{0}

kívülről érintik egymást (1. ábra), akkor

r^{*} = M O = M T + T O = r + r_{0} > r

. Így

k^{*}

átnyúlik

F_{2}

-be, az

M U

félegyenesen levő

U^{*}

pontja az

F_{2}

-ben van,

e

-től

U U^{*} = M U^{*} - M U = r^{*} - r = r_{0}

távolságban. Ezért a

k^{*}

-ot

U^{*}

-ban érintő egyenes azonos az

F_{2}

-ben,

e

-től

r_{0}

távolságban húzott

e_{2}

párhuzamos egyenessel. Eszerint

M

egyenlő távolságban van

O

-tól és

e_{2}

től, így csak azon

p_{2}

parabolán lehet, melynek fókusza

O

, és irányvonala

e_{2}

. E parabola minden pontja

F_{1}

-en van és

k_{0}

-on kívül, mert

O

-nak

e_{2}

-től való távolsága

d + r_{0} > 2 r_{0}

, és a parabola csúcsa

e_{2}

-től is,

O

-től is fele ekkora, vagyis

r_{0}

-nál nagyobb távolságra van, márpedig a parabola pontjai közül a csúcs van legközelebb a fókuszhoz és az irányvonalhoz.
Fordítva, legyen

M

p_{2}

egy pontja,

e

-n és

e_{2}

-n levő vetülete

U

, ill.

U^{*}

, és a

M O

szakasznak

k_{0}

-on levő pontja

T

. Így

M O = M U^{*}

, és

M T = M O - O T = M U^{*} - U U^{*} = M U

, ezért az

M

körül

M T

sugárral írt kör érinti

k_{0}

-t és

e

-t, tehát

M

pontja a keresett mértani helynek.

2. ábra

b) Ha viszont

k

és

k_{0}

belülről érintik egymást (2. ábra), akkor

k

magába foglalja

k_{0}

-t, és így

r > r_{0}

, mert az ellentétes esetben

k_{0}

belsejében volna

e

-beli pont, ti.

U

. Eszerint

M O = r^{*} = M T - O T = r - r_{0}

, és így

k^{*}

-nak az

M U

sugáron levő

U^{*}

pontja

r - r^{*} = r_{0}

távolságra van

e

-től, és pedig azon a félsíkon, mint

M

, vagyis

F_{1}

-en. Tehát

k^{*}

U^{*}

-ban érinti az

e

-től

r_{0}

távolságra levő

e_{1}

egyenest. Ezekből a fentiekhez hasonlóan látjuk, hogy

M

azon a

p_{1}

parabolán van, melynek fókusza

M

, irányvonala

e_{1}

, továbbá hogy e parabola minden pontja a mértani helyhez tartozik.
Ezek szerint, ha

k_{0}

nem metszi

e

-t, akkor a keresett mértani helyet az a két parabola,

p_{1}

és

p_{2}

alkotja, melyek fókusza

O

, irányvonaluk pedig az

e

két oldalán

r_{0}

távolságban húzott

e_{1}, e_{2}

párhuzamos.

3. ábra

II. Ha

k_{0}

érinti

e

-t

E

-ben (3. ábra), akkor minden az

e

-t

E

-ben érintő kör megfelelő, tehát az

e

-re

E

-ben állított

m

merőleges része a mértani helynek. ‐ Ha

k

nem

E

-ben érinti

k_{0}

-t, akkor

T

és vele

k

F_{1}

-en van,

k_{0}

-t tartalmazó félsíkon. Továbbá

E

k

-n kívül van, ezért

k

és

k_{0}

csak kívülről érinthetik egymást. Így I. a) meggondolásunk itt is érvényes, a mértani helyet

m

és

p_{2}

alkotja, az

E

pont kivételével (

E

egybeesik

p_{2}

csúcsával.

m

p_{1}

parabola elfajulásának tekinthető, mert

e_{1}

átmegy

O

-n.)
III. Ha

k_{0}

és

e

metszik egymást

A

és

B

-ben, akkor

k

és

M

mindkét félsíkon lehet.

4. ábra

k

és

k_{0}

külső érintkezése esetén (4. ábra)

M O = r^{*} = r + r_{0} > r

, ezért

U^{*}

k

-t nem tartalmazó félsíkon van, mindenesetre

e_{1}

és

e_{2}

valamelyikén, tehát

M

p_{1}

és

p_{2}

valamelyikének pontja. De itt

p_{1}

és

p_{2}

-nek csak a

k_{0}

-on kívüli pontjai jönnek tekintetbe. Mivel

A

és

B

mindkét parabolán rajta van, hiszen

O

e_{1}

e_{2}

-től való távolságuk

r_{0}

, azért a parabolák metszik

k_{0}

-t, és így

A B

ívük itt nem jön tekintetbe.
Látni fogjuk viszont, hogy

k

és

k_{0}

belső érintkezése esetén

M

számára csak

p_{1}

és

p_{2}

-nek

A B

íve jön tekintetbe. Ilyenkor ugyanis

k_{0}

magába foglalja

k

-t (5. ábra), mert az ellentétes esetben

k

-nak

e

mindkét oldalán volna pontja, ami lehetetlen.

5. ábra

Így

M

benne van

k_{0}

-ban, és

M O = r^{*} = T O - T M = r_{0} - r

. Ekkor

k^{*}

-nak az az

U^{*}

pontja van

e_{1}

, vagy

e_{2}

-n, amelyet az

M U

sugár

M

-en túli meghosszabbítása metsz ki, mert erre

U U^{*} = U M + M U^{*} = r + (r_{0} - r) = r_{0}

. Eszerint itt

M

gyanánt valóban csak a

p_{1}

vagy

p_{2}

-n, egyszersmind

k_{0}

belsejében levő pontok szerepelhetnek.
A fentiekhez hasonlóan lehet megmutatni, hogy

A

és

B

kivételével

p_{1}

és

p_{2}

minden

M

pontjához tartozik a követelményeknek megfelelő kör;

A

és

B

-höz 0-sugarú, csak tágabb értelemben vett kör tartozik. Ezek szerint a mértani helyet itt is

p_{1}

és

p_{2}

alkotja,

A

és

B

kivételével.

Marton Dénes (Budapest, Kölcsey F. g. IV. o. t.)

Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A megoldások zöme koordinátageometriai úton kapta a mértani helyet. Bollobás Béla (Bp., Apáczai Csere J. g.) és Gálfi László (Bp., I. István g.) térbeli, kúpok érintkezését felhasználó megoldást is adtak.