A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy ha , , , valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymás utáni négy tagja, akkor és között nem állhat sem egy, sem két tag, másrészt hogy és között nem állhat két tag. Tegyük fel, hogy és között egy tagja van a sorozatnak. Ez vagy , vagy , mindenesetre egyenlő és számtani közepével, -val. Ha a közbülső tag , vagyis , ebből , tehát az ) és ) egyenlőségeknek legalább egyike teljesül. Az ) esetben , , a sorozatban két egyenlő tag lép fel, így a sorozat különbsége 0, tehát is fennáll. Márpedig -ből , és így -nak nincs értelme. ‐ A ) esetben hasonlóan -ból adódik. ‐ Ugyanezekre az eredményekre vezet az a feltevés is, hogy és között áll, vagyis hogy . Ha pedig és mindegyike szélső, vagy ha mindegyikük közbülső tagja a sorozatnak, akkor . (Ha ugyanis , , , egy különbségű számtani sorozat egymás utáni négy tagja, akkor .) Ebből | | tehát ez a feltevés is a fenti ellentmondásba torkollik. ‐ Ezzel az állítást bebizonyítottuk. Ha mármost és a sorozat szomszédos tagjai, akkor a sorozat különbségére vagy , vagy . És mivel és vagy és utáni tagjai a sorozatnak, vagy mindegyikük megelőzi és -t, azért és valamilyen sorrendben vagy az , , vagy az , számpárok tagjaival egyenlők. Ez egyenletrendszerre vezet. A rendszerből és mivel , és a fentiek szerint , azért , . Az ezekből képezett (1) | | számok valóban számtani sorozatot alkotnak. A hátralevő három egyenletrendszer megoldásának megkönnyítése végett oldjuk meg közös típusukat, az paraméteres egyenletrendszert. Ugyanis ebben (, ) helyére egymás után a (, ), a (, ) és a (, ) értékpárokat írva a további egyenletrendszereket kapjuk, a (, ) értékpárral pedig a már megoldott esetet kapnánk. Ahhoz hasonlóan
és rendre a következő sorozatokat kapjuk:
Fritsch István (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Az I, III és a II, IV megoldás‐pár -gyel való szorzással és a sorrend megfordításával egymásba megy át. A numerikus számítás végrehajtása nélkül is belátható, hogy ha az , számpárból képezett , , , valamilyen sorrendben véve számtani sorozatot ad, akkor a , számpárból képezett , , , számok a megfelelő sorrendben ugyancsak számtani sorozat tagjai. Ezek ugyanis amazokból -gyel való szorzással keletkeznek, pl. , márpedig egy számtani sorozat tagjait -gyel szorozva ismét számtani sorozatot kapunk.
Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. III. o. t) |
|