Feladat: 1082. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bollobás B. ,  Dömötör Gy. ,  Fajszi Cs. ,  Farkas Z. ,  Frint G. ,  Fritsch István ,  Gálfi l. ,  Gergely M. ,  Grüner Gy. ,  Hanyi Zs. ,  Huber T. ,  Juhász I. ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kéry G. ,  Kiss Ildikó ,  Knuth E. ,  Kóta J. ,  Kovács I. (Békés) ,  Krámli A. ,  Kunszt Z. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Molnár E. ,  Nagy Cs. ,  Nováky B. ,  Nyárasdy Zsófia ,  Opálény M. ,  Pallós L. ,  Simonovits Miklós ,  Sonnevend Gy. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szidarovszky F. ,  Tistyán P. ,  Vesztergombi Gy. ,  Vincze I. 
Füzet: 1961/november, 128 - 130. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/január: 1082. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha s, d, p, q valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymás utáni négy tagja, akkor s és d között nem állhat sem egy, sem két tag, másrészt hogy p és q között nem állhat két tag.
Tegyük fel, hogy s és d között egy tagja van a sorozatnak. Ez vagy p, vagy q, mindenesetre egyenlő s=u+v és d=u-v számtani közepével, u-val. Ha a közbülső tag p, vagyis p=uv=u, ebből u(v-1)=0, tehát az α) u=0 és β) v=1 egyenlőségeknek legalább egyike teljesül. Az α) esetben p=uv=0, q=u/v=0, a sorozatban két egyenlő tag lép fel, így a sorozat különbsége 0, tehát s=d is fennáll. Márpedig u+v=u-v-ből v=0, és így q-nak nincs értelme. ‐ A β) esetben hasonlóan p=q(=u)-ból s=d adódik. ‐ Ugyanezekre az eredményekre vezet az a feltevés is, hogy s és d között q áll, vagyis hogy u/v=u.
Ha pedig s és d mindegyike szélső, vagy ha mindegyikük közbülső tagja a sorozatnak, akkor p+q=s+d. (Ha ugyanis a1, a2, a3, a4 egy D különbségű számtani sorozat egymás utáni négy tagja, akkor a1+a4=a2+a3=2a1+3D.) Ebből

p+q-(s+d)=uv+uv-2u=uv-2u=uv(v2-2v+1)=uv(v-1)2=0,
tehát ez a feltevés is a fenti ellentmondásba torkollik. ‐ Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Ha mármost d=u-v és s=u+v a sorozat szomszédos tagjai, akkor a sorozat D különbségére vagy D=2v, vagy D=-2v. És mivel p és q vagy d és s utáni tagjai a sorozatnak, vagy mindegyikük megelőzi s és d-t, azért p és q valamilyen sorrendben vagy az u+3v, u+5v, vagy az u-3v, u-5v számpárok tagjaival egyenlők. Ez 22=4 egyenletrendszerre vezet. A
p=uv=u+3vq=uv=u+5v
rendszerből
u=3vv-1=5v1v-1,
és mivel v0, és a fentiek szerint v1, azért v=-3/5, u=9/8. Az ezekből képezett (1)
d=u-v=6940,s=u+v=2140,p=uv=-2740,q=uv=-158=-7540
számok valóban számtani sorozatot alkotnak.
A hátralevő három egyenletrendszer megoldásának megkönnyítése végett oldjuk meg közös típusukat, az
uv=u+Av,uv=u+Bv
paraméteres egyenletrendszert. Ugyanis ebben (A, B) helyére egymás után a (+5, +3), a (-3, -5) és a (-5, -3) értékpárokat írva a további egyenletrendszereket kapjuk, a (+3, +5) értékpárral pedig a már megoldott esetet kapnánk. Ahhoz hasonlóan
u=Avv-1=Bv1v-1=-Bv2v-1-bőlv=-AB,u=A2A+B,


és rendre a következő sorozatokat kapjuk:
u=258,v=-53-ból d,s,q,p=11524,3524,-4524,-12524;(II)u=-98,v=-35-ből ,q,p,d,s=7540,2740,-2140,-6940;(III)u=-258,v=-53-ból p,q,d,s=12524,4524,-3524,-11524.(IV)
 

Fritsch István (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Az I, III és a II, IV megoldás‐pár (-1)-gyel való szorzással és a sorrend megfordításával egymásba megy át. A numerikus számítás végrehajtása nélkül is belátható, hogy ha az u, v számpárból képezett s, d, p, q valamilyen sorrendben véve számtani sorozatot ad, akkor a -u, v számpárból képezett d', s', p', q' számok a megfelelő sorrendben ugyancsak számtani sorozat tagjai. Ezek ugyanis amazokból (-1)-gyel való szorzással keletkeznek, pl. d'=-u-v=-(u+v)=-s, márpedig egy számtani sorozat tagjait (-1)-gyel szorozva ismét számtani sorozatot kapunk.
 

Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. III. o. t)