Kezdőlap


Feladat:	1080. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lipcsey Zsolt , Máté Attila , Tistyán Péter
Füzet:	1961/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 1080. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a téglatest egy csúcsába összefutó élek $a$ , $b$ , $c$ , testátlója $d$ . Mivel a közölt feldarabolással a lapokat egy darabban kaphatjuk meg, ezért az osztóvonalak párhuzamosak a négyzet oldalaival, tehát a négyzet $e$ oldala is egész szám. Így a test felszínének mértékszáma négyzetszám. A feladat szerint adódó

\begin{matrix} a b c = 2 (a b + a c + b c) (= e^{2}) \end{matrix}

(1)

egyenletből osztással

\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} . \end{matrix}

(2)

Feltehetjük, hogy

a ≦ b ≦ c

. Így egyrészt¹

\begin{matrix} \frac{1}{2} ≦ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}, másrészt \frac{1}{2} > \frac{1}{a}, \end{matrix}

ezekből

a ≦ 6

és

a > 2

, tehát

a

értéke 3, 4, 5, vagy 6.

a = 3

-mal hasonlóan kapjuk:

6 < b ≦ 12

. Továbbá (1)-ből

\begin{matrix} c = \frac{2 a b}{a b - 2 (a + b)} = \frac{2 a b}{(a - 2) b - 2 a} = \frac{6 b}{b - 6} . \end{matrix}

(3)

Így az

a b c = e^{2}

követelményből

\begin{matrix} \frac{18 b^{2}}{b - 6} = e^{2}, tehát b - 6 = 2 \cdot {(\frac{3 b}{e})}^{2}, \end{matrix}

vagyis a

b - 6

egész szám egy négyzetszám 2-szeresével egyenlő. Mivel

0 < b - 6 ≦ 6

, és már

2 \cdot 2^{2} > 6

, azért csak

3 b / e = 1

b - 6 = 2

felelhet meg, tehát

b = 8

c = 24

e = 24

. Így azonban

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 649

nem teljes négyzet, az értékrendszer nem felel meg.

a = 4

-gyel hasonlóan

4 < b ≦ 8

, és (3) szerint

\begin{matrix} a b c = \frac{2 a^{2} b^{2}}{(a - 2) b - 2 a} = \frac{16 b^{2}}{b - 4} = e^{2}, b - 4 = {(\frac{4 b}{e})}^{2}, \end{matrix}

vagyis

b - 4

teljes négyzet. És mivel

0 < b - 4 ≦ 4

, azért

b - 4

értéke 1, vagy 4. Ezekkel

a

b

c

e

-re a

\begin{matrix} 4, 5, 20, 20, ill. & (I.) \\ 4, 8, 8, 16 & (II.) \end{matrix}

lehetőségek jönnek szóba. A testátló mindkettőben egész:

d = 21

, ill.

d = 12

a = 5

és

a = 6

-ból nem kapunk megfelelő

a

b

c

értékhármast. Mindkét esetben

b ≦ 6

, továbbmenve

a = 5

b = 5

-ből

c = 10

, és így

a b c

nem teljes négyzet, ugyanígy

a = b = c = 6

esetén sem,

a = 5

b = 6

mellett pedig

c

nem egész.
Mármost I. esetében az

e = 20

egységnyi oldalú négyzetből két

a \times c = 4 \times 20

, két

b \times c = 5 \times 20

és két

a \times b = 4 \times 5

egységnyi méretű téglalapot kellene egy darabban kivágnunk. Az első négy kivágása egyértelmű, mert

c = e

, az ezek után visszamaradó

2 \times 20

méretű téglalapból azonban lehetetlen a

4 \times 5

méretű lapokat kivágni.

II. esetében a szétvágásra ábránk egy lehetőséget mutat, eszerint a feladat egyetlen megoldása az, ha a téglatest éleinek hossza 4, 8, 8 egység (felezősíkkal kettévágott 8 egységnyi élű kocka).

Tistyán Péter (Békéscsaba, Rózsa F. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. A fenti eredményhez a szétvágási követelményből kiinduló próbálkozással is el lehet jutni, ‐ csak az nem derül ki, hogy ez az egyetlen megoldás. Ugyanis a téglatest papírmodelljéről a két

b \times c

méretű lapot félretéve, a maradó palástot két szemben fekvő éle mentén felvágva és egymás mellé illesztve lefedhetünk egy

(b + c) \times (2 a)

méretű téglalapot. A

b \times c

méretű lapokat

(2 b) \times c

méretű téglalappá összeillesztve amazzal mindenesetre téglalapot adhat, ha

2 b = b + c

, vagyis

b = c

. Ez a téglalap akkor lesz négyzet, ha

2 b = c + 2 a

, vagyis

b = c = 2 a

. Ezekből

d = 3 a

. Ha

a

egész, akkor

b

c

és

d

egész. A felszín és a térfogat mértékszámai azonban csak akkor egyenlők:

16 a^{2} = 4 a^{3}

, azaz ha

a = 4

, vagyis a hosszúságegység a rövidebb él negyedrésze.

Máté Attila (Szeged, Dózsa Gy. ált. isk. VIII. o. t.)

Lipcsey Zsolt (Budapest, Petőfi S. g. II. o. t.)

¹Az alkalmazott gondolatmenetet részletesebben lásd K. M. L. 19 (1959) 83. o.