Kezdőlap


Feladat:	1078. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Katalin
Füzet:	1961/november, 124 - 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Térfogat, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 1078. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy mindegyik feltett háztetőtestnek (az alaplapot, ennek éleit és csúcsait nem tekintve) 4 oldallapja, 5 éle és 2 csúcsa van. Az élek egyike az alappal párhuzamos, nevezzük gerincnek ‐ ennek végpontjai a csúcsok. A két hosszabb alapélre illeszkedő oldallap szimmetrikus trapéz, a rövidebbekre illeszkedők pedig egyenlő szárú háromszögek; mindegyik oldallap szimmetrikus a megfelelő alapél felező merőleges síkjára, és az alapélen levő szögeik egyenlők.

A gerinccsúcsokból húzott magasság talppontja az alaplap 3 élétől feleakkora távolságban van, mint az alap rövidebb éle, ugyanekkora a tető magassága is. Ezért a gerinc hossza egyenlő az alap oldalainak különbségével.
A téglatest két szomszédos lapjára illesztett tetőknek az alapok közös élére támaszkodó lapjai egymás meghosszabbítására esnek, mert lapszögük

45^{\circ} + 90^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}

. Így a 6 háztető 24 lapjából a felillesztés után a testen 12 lap alakul ki. Mindegyik lap átló gyanánt magában foglalja a téglatest egy élét, így a vizsgált test minden éle csak egy tetőhöz tartozik, számuk

6 \cdot 5 = 30

. A téglatest csúcsai vizsgált testnek is csúcsai, ezért a csúcsok összes száma

8 + 6 \cdot 2 = 20

.
A téglatest leghosszabb (

a

-) éleihez mindkét lapjuk révén szimmetrikus trapéz kapcsolódik, ezek összeillesztve olyan hatszögeket adnak, melyeknek szemben fekvő oldalai párhuzamosak. A legrövidebb (

c

-) élekhez kapcsolódó egyenlő szárú háromszögek hasonlóan rombuszokat adnak. A

b

-élekhez két oldalukon háromszög, ill. trapéz kapcsolódik, ezek összeillesztésével egytengelyű szimmetrikus ötszögeket kapunk. A fentiekből nyilvánvaló, hogy a 4‐4 hatszög, rombusz, ill. ötszög egybevágó.
A téglatest

a

és

b

élű lapjára feltett tetőt a gerinc egy‐egy végpontján átmenő és

a

-ra merőleges síkok egy háromoldalú hasábra és két gúlára osztják. Az utóbbiak összetolva szabályos négyoldalú gúlát adnak

b

alapéllel,

b / 2

magassággal, így együttes térfogatuk

b^{3} / 6

. A fekvő hasáb hossza

a - b

, alaplapja (a hosszára merőleges metszete) egyenlő szárú derékszögű háromszög

b

átfogóval, tehát térfogata

b^{2} (a - b) / 4

. Eszerint a háztető‐test térfogata

\begin{matrix} V_{a b} = \frac{b^{3}}{6} + \frac{b^{2} (a - b)}{4} = \frac{a b^{2}}{4} - \frac{b^{3}}{12} . \end{matrix}

Ebből

a

b

helyére

a

c

-t, majd

b

c

-t írva kapjuk a tégla közepes, ill. legkisebb lapjára illesztett testek

V_{a c}

, ill.

V_{b c}

térfogatát. Ezekből az egész test térfogata

\begin{matrix} V = a b c + 2 (V_{a b} + V_{a c} + V_{b c}) = a b c + \frac{1}{2} (a b^{2} + a c^{2} + b c^{2}) - \frac{b^{3}}{6} - \frac{c^{3}}{3} . \end{matrix}

Szabó Katalin (Csongrád, Batsányi J. g. IV. o. t.)